Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
3.3. Математическая информатика
Математическая информатика) представляет собой совокупность методов информатики и компьютерных технологий для решения математических задач. Этот термин был введён российским учёным акад. А.В. Чечкиным в 1991 г., в одноимённой монографии. Информатика здесь рассматривается как наука об интеллектуальных системах различного назначения. Математические вопросы информатики описываются на основе понятия ультраоператоров. Это даёт возможность применить единый информационный подход к математической логике, вычислительной и дискретной математике и др. Такой подход позволяет решать вопросы создания автоматизированных интеллектуальных и экспертных систем.
В математической информатике находят своё естественное место все разделы неклассической математики – математическая логика, вычислительная и дискретная математика, конструктивная математика, математическая статистика, теория информации, теория языков и грамматик, теория нечётких множеств, теория рекурсивных функций, теория алгоритмов и функциональных языков, теория программирования и др. Эти и многие другие разделы математики являются основами компьютерных наук, на которых базируются последние достижения в области искусственного интеллекта (продукции, фреймы, семантические сети, предикаты и т.д.).
В настоящее время информатика стала центральной наукой современного фундаментального естествознания, распространяя свои методы на все сферы науки. Предметом информатики являются интеллектуальные системы, связанные с контролем и диагностикой, прогнозированием и проектированием, системами управления, экспертными системами и др. Системы искусственного интеллекта давно стали реальностью нашего времени. Соединённые информационными связями в сети с естественным интеллектом, и между собой, они образуют интеллектуальные системы с разнообразными предметными областями. Главными базовыми элементами интеллектуальных систем являются ультрасистемы – своего рода ячейки интеллекта.
В современной математике классические разделы – это арифметика, алгебра, геометрия, математический анализ, теория дифференциальных уравнений и др. Понятия классической математики, в основном, служат для моделирования предметной области, тогда как моделирование информационной области требует существенно других понятий, относящихся к неклассической математике. Классическая математика позволяет успешно строить модели и исследовать различные виды объектов предметной области – детерминированные и стохастические, стационарные и динамические, линейные и нелинейные, одномерные и многомерные, и т.д.
Неклассическая математика находится в стадии бурного развития. Сегодня формируются многие новые разделы – например, теория разностных схем, теория кубатурных формул, методы решения некорректных задач, теория семантической информации, элементы теории ультраоператоров, и др. Специальные вопросы неклассической математики, находящихся на стыке двух наук, изучает математическая информатика, которой ещё предстоит пора окончательного становления. Для неё характерен единый информационный подход по отношению, например, к математической логике, вычислительной, дискретной, конструктивной математикам.
Математика – единый мир идеальных математических объектов и является отражением природы во всех её проявлениях. В природе нет такой области, которую нельзя было бы изучать и моделировать математическими средствами. Разумеется, в природе имеются системы, требующие очень сложных математических моделей или такие, для которых необходимо создание новых математических понятий. Математика является живым организмом, который находится в движении и развитии. Это вызвано увеличивающимися потребностями практики для дальнейшего познания природы и разумного переустройства мира, а также внутренними потребностями саморазвития, совершенствования теорий, что проявляется в красоте математики. Классические и неклассические разделы математики обычно соотносят с чистой и прикладной математикой. Практика показывает, что для решения многих задач, например, программирования, независимо от их прикладного назначения, используются как классические, так и неклассические разделы. Часто совершенно невозможно отделить их друг от друга в различных приложениях из-за их тесной взаимосвязи. В истории человечества выделяются три периода – сельскохозяйственный, промышленный (индустриальный) и информационный (постиндустриальный).
На развитии математики в первую очередь сказываются особенности деятельности человека на данном этапе развития цивилизации. Так, в XVI–XVII веках потребности практики привели к развитию методов математического моделирования динамических систем, созданию
дифференциального и интегрального исчисления. В результате появилась новая дисциплина – математический анализ. В XIX–XX веках особенно выделились системы с распределёнными параметрами, всевозможные сплошные и дискретные среды, к которым относятся твёрдые, жидкие и газообразные вещества, электромагнитные, гравитационные и другие поля, разнообразные микро- и макроструктуры. Именно в это время в математике появились и развились такие разделы, как: математическая физика, теория вероятностей, теория групп, функциональный анализ. В настоящее время внимание привлечено к системам существенно нового класса – интеллектуальным системам, включающим различного рода экспертные системы, автоматизированные системы управления, наблюдения, диагностики, проектирования и др. Сегодняшний этап определяется всеобщей интеллектуализацией.
Спросим себя, в чём отличие типовых систем XX и XXI веков, например, от кораблей, автомобилей, самолётов и т.д.? Основное отличие современных систем – в их более высокой эффективности, которая достигается интеллектуализацией систем, то есть оснащением этих систем различного рода компьютерными устройствами оптимизации, контроля и диагностики. Интеллектуальные системы преобразовывают информацию, собирают, сохраняют, перерабатывают и передают её по сетям.
Третий период развития цивилизации, соответствующий информационному обществу, вызвал новый период и в развитии математики, которая на современном этапе призвана стать основой информационного и программного обеспечения систем виртуальной реальности, моделировать
происходящие в них интеллектуальные информационные процессы и создавать системы искусственного интеллекта.
В чём же по существу заключается отличие классической и неклассической математики? По-видимому, главное отличие кроется в различных принципах задания точки. Понятие «точки» как элемента множества является первичным математическим понятием. Оказывается, задание точки может быть различным: в классической математике господствует принцип абсолютного задания точки, в неклассической математике – принцип информационного задания точки.
Принцип абсолютного задания точки: всякая рассматриваемая точка непустого множества известна абсолютно, и при этом она отождествляется со своим индивидуальным именем – идентификатором. Именно такие точки участвуют в функциях, операторах, бинарных отношениях, алгебраических операциях и т.д. Принцип абсолютной точности пронизывает все разделы классической математики.
Принцип информационного задания точки: про всякую точку непустого множества известна лишь некоторая информация. При этом возможна максимальная информация, когда точка известна с максимальной точностью, т.е. абсолютно. Например, в математической логике всякое истинное высказывание о точке (предикат) несёт только некоторую информацию об этой точке. В вычислительной математике всякое приближённое значение точки задаёт лишь сведение о ней, например, о форме некоторой области (окрестности), содержащей эту точку. Принцип информационного задания точки включает в себя, как частный случай, и принцип абсолютного задания точки, который соответствует предельному случаю максимальной информации о точке.
Следовательно, информационный принцип может считаться универсальным и единым для всей математики. При этом неклассические разделы математики являются более общими (обобщающими), а классические – более идеальными разделами, т.е. математической идеализацией. Таким образом, математика XXI века базируется на центральном понятии – информации.
Математическое моделирование искусственного интеллекта включает модели двух типов – классической и неклассической математики. Новые математические понятия – информация о точке, опорные сети и ультрасети, решётки и шкалы понятий, ультраоператоры и т.д. позволяют моделировать интеллектуальные системы.
Термин ультрасистема соответствует термину ЛПР (лицо, принимающее решение) и отражает феномен интеллекта – естественного или искусственного.
Ультрасистема – это преобразователь семантической (смысловой) информации. Математическое описание такого преобразователя привело к понятию ультраоператора. Теория ультраоператоров и является основой математической информатики.
Сегодняшний этап развития человеческой цивилизации определяется всеобщей компьютеризацией и интеллектуализацией. Появление и развитие неклассических разделов современной математики, в основном, вызвано потребностями математического моделирования компьютерных и/или интеллектуальных систем. В этих разделах отражается центральное понятие научного познания – информация.
Семантическая информация. Здесь ключевым понятием является объект – первичное и строго не определяемое понятие. Оно всегда противопоставляется другому, двойственному для него понятию – субъект. Субъект обладает способностью воспринимать, преобразовывать и использовать информацию об объекте.
Объект – это одно из самых общих понятий, так как трудно привести пример того, что не является объектом. Ведь всё, что познаётся, изучается или эксплуатируется человеком, является объектом, и на физическую природу объектов никаких ограничений не накладывается. Существуют реальные и идеальные объекты, в частности, математические объекты – идеализации. Среди объектов выделяются системы, представляющие собой совокупность элементов (объектов), находящихся в сложных взаимосвязях и отношениях друг с другом. При этом системы образуют определённую целостность и единство. Любой объект им соответствующий ему субъект уже образуют систему. Такую систему можно назвать интеллектуальной.
Центральным понятием является информация об объекте, что по-другому называется семантической информацией. Понятие сведения об объекте предполагает, что всякий объект обладает определёнными свойствами, проявляющимися при взаимодействии с другими объектами. Если зафиксировать некоторую систему и в качестве одного из её элементов помещать тот или другой объект, то система будет каким-то образом реагировать на эти объекты – например, изменять цвет, перемещаться или деформироваться. Следовательно, такую систему можно считать своеобразным испытательным стендом (датчиком), в который помещён объект. Конкретная реакция такого стенда определяет конкретное свойство объекта. Всякое свойство объекта проявляется в рамках того или иного стенда. Например, свойство объекта двигаться, развиваться, эволюционировать и т.д. подразумевает использование соответствующего стенда, на котором это могло бы фиксироваться или проявляться. Даже такое внутреннее свойство объекта, как наличие у него составных частей, т.е. элементов системы, подразумевает некий стенд, в котором происходит выделение частей объекта, разделение объекта на элементы и их регистрация.
Проанализируем более сложное понятие – данные об объекте. Здесь наряду с отдельными сведениями об объекте имеют дело с наборами (семействами) сведений о конкретном объекте. При этом используется семантический указатель и определяется семантическая достоверность сведений об объекте. Формируется семейство подмножеств опорного множества, и находится семантическая достоверность P сведения. Если P является скалярной величиной, равной единице, то сведение является истинным. Возникает вопрос: всегда ли данные об объекте представляют собой конечное семейство? Данные об объекте могут иметь большое количество сведений, и могут быть бесконечными. В жизни постоянно встречаются и более сложные данные, особенно в гуманитарных науках, в искусстве, в литературе и т.д. Например, описания конкретного вида цвета, запаха, голоса, звука, вкуса, внешности, пейзажа и т.д. представляют собой не что иное, как семейства сведений. Такие сведения приобретают на практике, в процессе обучения. Например, любой цвет предмета представляет собой семейство из сведений о самых разных оттенках трёх базовых цветов.
Совпадают ли между собой понятия данные и информация об объекте? Оказывается, эти понятия различны: можно привести примеры различных данных об одном объекте, которые определяют одну и ту же информацию об этом же объекте. Понятие информация об объекте определяется как такое семейство сведений об этом объекте, к которому принадлежат, наряду с каждыми сведениями из этого семейства, также и все их простейшие очевидные логические следствия. Носителем информации об объекте будет такая часть сведений из этой информации, простейшие логические следствия из которой будут полностью определять информацию. У одной информации могут быть различные носители. Тогда они являются эквивалентными. В общем случае информация об объекте и её носитель не совпадают, но по любому своему носителю информация однозначно определяется. Например, носителем информации является любое одиночное сведение об объекте, любые данные об объекте.
Системы с интеллектуальными свойствами. Вместо термина субъект-объект будем использовать термин интеллектуальная система. Это связано с тем, что понятие субъект обычно ассоциируется с одушевлённым предметом. Однако существуют разнообразные технические устройства, обладающие качествами высокоорганизованной материи,
то есть осуществляющие сбор, хранение, преобразование, использование и передачу семантической информации. Поэтому для любых систем с интеллектуальными свойствами, независимо от того, одушевлённые они или нет, используется термин интеллектуальная система.
Интеллектуальный датчик. Сбор и пополнение данных (сведений) об объектах определённого типа соответствуют действиям интеллектуальной системы, называемой интеллектуальным датчиком. В качестве такого датчика может выступать человек, коллектив людей или техническое устройство. Например, это может быть сбор лабораторный анализ отдельных образцов материалов, минералов, химических веществ и т.д., испытания на полигоне опытных образцов техники, военная разведка сил противника, наблюдения за изменяющимися процессами, комиссия по проверке. Отличие интеллектуального датчика от неинтеллектуального состоит в том, что в первом всякое свойство жёстко привязывается к объекту, который этим свойством обладает. Например, имеется измерительный прибор для каких-то исследований. Этот прибор будет интеллектуальным датчиком в том случае, если любое его показание однозначно связывается с именем (названием) измеряемого объекта. Сами по себе термометр, монометр, спидометр не являются интеллектуальными датчиками, пока из показания не будут однозначно связаны с именем измеряемого объекта.
Интеллектуальный исполнитель. Поиск некоторого объекта из определённого множества объектов по имеющимся данным являются действием интеллектуальной системы, называемой интеллектуальным исполнителем. Его работа заключается в последовательном исключении объектов из рассмотрения, с учётом имеющихся сведений об искомом объекте из заданного множества объектов. Например, рабочий, изготавливающий по чертежам некоторое изделие, является интеллектуальным исполнителем. Чертеж является сведениями о конкретном объекте, а заданное множество – это всевозможные объекты, которые рабочий может сделать в принципе. Примерами интеллектуальных исполнителей является бригада работников, выполняющих заказ; завод, цех, коллектив, изготавливающий некоторые изделия; военное подразделение, выполняющее приказ начальника, и др. Программист, модельер, парикмахер, библиотекарь, продавец, и другие люди, выполняющие заказы, т.е. по имеющимся данным подбирают клиенту желаемый объект – также интеллектуальные исполнители. Робот, который по имеющимся данным может найти или изготовить нужный объект, вычислительный центр, компьютер, с помощью которого можно найти нужные сведения в Интернете, гибкое автоматизированное производство,
конвейер на производстве, GPS- навигатор в автомобиле – это примеры технических интеллектуальных исполнителей.
Накопитель данных. Работа по составлению и ведению справочников, картотек, собраний документов, результатов измерений и наблюдений и т.д. также представляет собой действия интеллектуальной системы, называемой накопителем данных. Действия такого накопителя состоят в пополнении данных от различных источников сведений об объектах и выдачи таких сведений пользователям. Пополнение данных в накопителе происходит только по его запросам к источникам. После получения очередных данных накопитель помещает их на хранение вместе с другими сведениями, т.е. пополняет базу данных. Выдача сведений накопителем производится также только по запросам от пользователей. Пример – справочное бюро вокзала, информационно-справочные системы организаций, электронные библиотеки и др. Накопителем может быть как человек, или коллектив людей, так и автоматизированная система с использованием компьютерных сетей.
Ультрасистема. Преобразователь данных одного множества X в данные об объектах другого множества Y является ультрасистемой. Это особо важный вид интеллектуальных систем, принимающих решения. Хорошим примером ультрасистемы является Лицо, принимающее решения (ЛПР), так как его деятельность состоит в получении данных о необходимых мероприятиях (операциях по данным) об исходной ситуации. Специалист, решающий конкретную задачу, конструкторское бюро, разрабатывающее новую техническую систему (самолёт, ракету, корабль и т.д.), военачальник со штабом, разрабатывающий план военной операции, врач, ставящий диагноз, механик, ремонтирующий автомобиль, система автоматизированного проектирования, диагностическая система – различные примеры ультрасистем.
Главная особенность ультрасистемы – преобразование данных об одном объекте в сведения о другом объекте. Возможен частный случай ультрасистем, для которых входные и выходные данные относятся к одному и тому же объекту. Такие ультрасистемы называются сингулярными. Если сингулярная ультрасистема преобразует одни данные об объекте в эквивалентные данные о том же объекте, то есть и входные, и выходные данные являются носителями эквивалентной информации об объекте, то такая ультрасистема называется транслятором. Перевод данных с одного языка на другой, перевод десятичной записи в двоичную, перевод компьютерной программы с языка высокого уровня на машинный язык и т.д. осуществляется транслятором. Такую работу можно сравнить с распознаванием образов. В этом случае один язык – этот язык признаков объекта, а другой – это язык классов объекта. Например, отгадывая загадки, человек переводит признаки объекта в классы объекта.
Если сингулярная ультрасистема преобразует данные в результаты, несущие меньшую информацию, то она называется обобщающей. Например, при подготовке данных для вышестоящей организации часто отбрасываются несущественные сведения и сохраняются только важные; при передаче данных по каналам связи возможны потери и искажения – всё это примеры обобщающих ультрасистем.
Если сингулярная ультрасистема на выходе выдаёт данные, несущие большую информацию о системе, чем было на входе, то она является уточняющей. Например, студент, читающий научную литературу с целью узнать больше об интересующем его вопросе, специалист, исследователь, ищущий нужные сведения, автоматизированная компьютерная система поиска данных – это примеры уточняющих ультрасистем.
Обсудив основные виды интеллектуальных систем – датчики, исполнители, накопители и ультрасистемы, назывющиеся базовымисистемами, прейдём к более сложным интеллектуальным системам – экспертным системам, системам управления, и др., в которых присутствуют как элементы, описанные выше базовые системы.
Экспертная система – это сеть базовых интеллектуальных систем на основе информационных связей, в которую могут входить датчики, накопители, ультрасистемы, но не входят исполнители. Экспертная система является многоуровневой иерархической системой без исполнителей на нижнем уровне. Работает система по запросам, и для ответа на запрос привлекаются косвенные данные о различных объектах, которые преобразуются ультрасистемами в данные о необходимом объекте. Например, консилиум специалистов для диагностирования заболевания, комиссия по расследованию причин аварии, совещательный орган, и др. – это примеры экспертных интеллектуальных неавтоматизированных систем. Сейчас разработано большое количество автоматизированных систем, выполняющих аналогичные функции.
По существу, автоматизированная экспертная система – это система чтения знаков – букв из некоторого алфавита. Такая система должна иметь датчик признаков изображённого знака и сингулярную ультрасистему (транслятор), переводящую данные о знаке алфавита с языка признаков на язык классов.
Система управления – это сеть базовых интеллектуальных систем с информационными связями, в которую обязательно входят датчики и исполнители. Система управления также является многоуровневой иерархической, но на нижнем уровне у неё обязательно должны быть датчики и исполнители. Объект управления определяется в предметной области системы управления датчиками и исполнителями по принципу обратной связи. Например, любой водитель транспортного средства, вместе с приборами пульта управления, является системой управления. Разнообразные автоматизированные и неавтоматизированные системы управления применяются во всех сферах жизни современного общества.
Сложная система. Само название подчёркивает огромные трудности, связанные с исследованием, созданием, эксплуатацией, ремонтом и т.д. таких систем. Отличительными признаками сложных систем являются: наличие большого числа взаимно связанных взаимодействующих между собой элементов; сордность функций, выполняемых системой; возможность разбиения на подсистемы, цели функционирования которых подчинены общей цели; наличие взаимодействия с внешней средой; функционирование в условиях воздействия случайных факторов; наличие информационной сети, потоков данных, часто имеющих иерархическую структуру. Система называется сложной, если её можно разбить на такие части (подсистемы), среди которых имеется интеллектуальная система. Всякая интеллектуальная система (ИС) обладает качествами высокоорганизованной материи. Любая ИС имеет свою предметную область, с которой связана вся её деятельность, свою информационную область, которая является основной частью системы и представляет собой сеть накопителей и ультрасистем. ИС имеет интеллектуальные датчики и исполнители, которые называются терминальными элементами и осуществляют связь между предметной и информационной областями. С помощью датчиков происходит сбор сведений об объектах, с помощью исполнителей – воздействие на предметную область со стороны информационной системы.
Наука об интеллектуальных системах строится вокруг центрального понятия информация, которая должна быть семантической. Традиционная (по Шеннону) теория информации, являющаяся частью теории связи, изучает методы кодирования сообщений различных источников и проблемы надёжной передачи сообщений по каналам связи с шумом. Семантика (смысловая часть) сообщений здесь остаётся в стороне, и семантическая информация не является предметом этой теории. Это понятие отсутствует и в традиционной (по Винеру) кибернетике, в которой господствует принцип обратной связи и жёсткая привязка сигналов к объекту управления. Интеллектуальные системы не являются предметом исследования кибернетики. Тем не менее, в различных сферах управления необходимость в интеллектуальных системах управления всё более настоятельна. Реально каждый объект управления уникален и изменчив, значит, система управления должна реагировать на семантический указатель данных. Часто управление ведётся не одним объектом, а многими, а в этом случае семантический указатель сведений об этих объектах становится обязательным.
Возрастает внимание к более высоким иерархическим уровням управления, которые ранее были привилегией только людей – например, формирование критериев и цели управления, контроль за эффективностью управления, выработка рекомендаций. И опять необходим семантический указатель. Так какая же наука должна изучать интеллектуальные системы? Более всего подходит информатика, что подчёркивает первостепенную роль семантической информации. Сегодня к информатике относят самые разнообразные вопросы автоматизации обработки информации, вопросы алгоритмизации и программирования, и др. Методы вычислительной математики, численных методов анализа, вопросы построения математических моделей, решение всевозможных прямых и обратных задач сегодня относятся к информатике. Общим здесь является тесная связь с проблемами построения интеллектуальных систем. Таким образом, информатику можно назвать наукой об интеллектуальных системах.
Если провести параллель информатики с кибернетикой, то можно провести следующую аналогию: у человека различается первая и вторая сигнальные системы, причём с первой связаны рефлекторные реакции (рефлексы), а со второй – мышление, речь, язык, понятия, высказывания – т.е. семантическая информация. Можно сказать, что кибернетика имеет дело с системами типа первой сигнальной системой человека, а информатика – с системами типа второй сигнальной системы человека.
Ещё Платон сформулировал основные методологические принципы, которые сегодня лежат в основе математической информатики: информационный принцип, принцип системности, принцип отражения и структурный принцип.
Информационный принцип. Объектом является всё то, о чём возможно получить информацию, то, что является элементом некоторого множества объектов.
Принцип системности. Объект, представляющий собой совокупность взаимосвязанных элементов (объектов более низкого уровня), является системой. Всякая система обладает свойством структурности, определяемой только взаимосвязями между элементами системы, и сохраняющейся, с некоторой ненулевой вероятностью, при замене элементов системы на их заменители. Всякий объект является элементом одновременно для многих систем. Эти вопросы изучает теория сложных систем.
Принцип отражения. Всякий объект обладает различными свойствами, проявляющимися в рамках соответствующих систем, где этот объект является элементом. Для всякого объекта возможна интеллектуальная система, в которой происходит сбор, хранение, преобразование, использование и передача информации об этом объекте. Всякий объект имеет первичный и самостоятельный характер по отношению к своей интеллектуальной системе, а информация об объекте имеет вторичный характер и является отражением различных свойств объекта. Всякая интеллектуальная система имеет относительную самостоятельность, которая заключается в возможности её самостоятельного (без объекта) функционирования на основе заранее полученной информации об объекте.
Структурный принцип. Структура всякой интеллектуальной системы представляет собой сеть ультрасистем (преобразователей информации), связанных между собой через накопители информации. Эта сеть повторяет, в главном, сеть взаимосвязей между объектами в предметной области интеллектуальной системы, т.е. структуру предметной области. Связь интеллектуальной системы со своей предметной областью осуществляется через терминальные элементы – датчики и исполнители.
Таким образом, выделен предмет математической информатики, новой науки, появляющейся на стыке двух наук, – интеллектуальные системы.