Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ ЭКОЛОГИИ И ЭКОНОМИКЕ

Рау В. Г., Рау Т. Ф., Малеев А. В.,

§ 1.6. Квантовомеханические модели. Свободное движение микрообъекта и частица в потенциальном ящике

1. Рассмотрим первую задачу квантовой механики о свободном движении микрообъекта.

Условия задачи: U(x) = 0 (внешнее поле отсутствует), при x → 0. Запишем уравнение Шредингера:

,

но U(x) = 0 и , а тогда в одномерном случае, имеем:

Решением уравнения является функция , где , что можно проверить простой подстановкой.

Вычислим теперь амплитуду ψ0, чтобы полностью определить функцию состояния, для чего воспользуемся условием нормировки:

или

Видно, что интеграл расходится, а это значит, что нарушается условие нормировки. Необходимо вычислить нормирующий множитель:

Если мы вычисляем , то, как известно из курса анализа, этот интеграл принимает значение так называемой δ-функции: при . В нашем примере, можно записать:

откуда , а поэтому . Окончательный вид волновой ψ-функции (плоской волны) запишем следующим образом:

(1.6.1)

2. Задача о частице в бесконечно высоком потенциальном «ящике». Начертим график потенциального «ящика» (рис. 9). Механическим аналогом является движение частицы между двумя абсолютно упругими стенками: упругое взаимодействие «включается» только в точках x = 0 и x = l.

Условия:

Рассмотрим стационарное движение частицы, т.е. когда E(t) = const. Запишем уравнение Шредингера для областей x ≤ 0 и x ≥ l, где U(x) =: или , или . Так как k ≠ ∞, то . Это возможно только тогда, когда ψ(x) = 0, а следовательно, величина . Частицу нельзя обнаружить с координатой x ≤ 0 и x ≥ l. Аналогичные рассуждения приводят к тому, что ψ(0) = 0 и ψ(l) = 0. Таким образом мы определили граничные значения волновой ψ-функции.

Пусть теперь 0 < x< l, где U(x) = 0. Тогда уравнение Шредингера примет вид:

или

Решения такого уравнения нам уже известны: (общее решение, как суперпозиция частных). Применим граничные условия ψ(x) = 0 при x = 0. Тогда A + B = 0, то есть A = –B, а значит При x = l, ψ(l) = 0, т.е. . Это возможно, если B = 0 (в этом случае при всех x ψ(x) = 0 и частица просто не существует в пространстве) или sin kl = 0, что возможно при kl = nπ, то есть . Вычислим энергию:

(1.6.2)

Величина энергии оказалась «квантованной». Теперь вернемся к ψ-функции и вычислим константу В из условия нормировки: Тогда имеем:

откуда

Окончательный вид решения можно записать следующим образом:

,

а функция плотности вероятности равна .

Рис. 10. Стационарные состояния микрообъекта в «потенциальном ящике»

Изобразим полученное решение графически (рис. 10). Большие квантовые числа приводят к тому, что функция плотности вероятности оказывается постоянной, что характерно для движения шарика между двумя упругими стенками (принцип соответствия).