Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
7.4. Образование поверхностей
В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.
Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующейся на таких основных элементарных геометрических понятиях, как точка и множество.
В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности:
Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.
Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже закон перемещения линии целесообразно задавать графически в виде совокупности линий и указаний о характере перемещения линии. Эти указания могут быть заданы графически, в частности с помощью направляющей поверхности. В процессе образования поверхностей линия может оставаться неизменной или менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность – кинематической (рис.7.4, 7.5). Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.
Рис. 7.4. Пример поверхности, образованной вращением линии вокруг оси i
На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.
Подвижная линия называется образующей, неподвижные линии и поверхность – направляющими.
Примером такого способа образования могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» профиля резца.
Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, грейдеры и т. п.), но и рытье траншей, котлованов, проходка траншей, профилирование откосов и многое другое (рис. 7.5).
Рис. 7.5. Бульдозер для проходки траншей
Но режущие кромки во многих случаях начинают уступать место производящей поверхности, с которой связано развитие прогрессивных производительных процессов обработки металлов давлением и обкаткой. Геометрическая сущность этих процессов – метод огибания.
Рассмотрим некоторые кривые поверхности.
Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:
1. Аналитический - при помощи уравнений;
Рис. 7.6. Пример поверхности, заданной аналитически
2. При помощи каркаса;
Рис. 7.7. Пример линейного каркаса поверхности
3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.
Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. На рис. 7.6 приведен пример поверхности, заданной аналитически (системой алгебраических уравнений).
Каркас поверхности
Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже может служить каркас поверхности.
Каркасом поверхности принято называть упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности (рис. 7.7).
В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы называют точечными или линейными. Линейным каркасом называется множество таких линий, которые имеют единый закон образования и связаны между собой определенной зависимостью. Условия связи между линиями каркаса называются зависимостью каркаса. Эта зависимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, которая называется параметром каркаса. Если параметр линейного каркаса является непрерывной функцией, то каркас называется непрерывным, а если параметр − прерывная функция, то каркас называется дискретным. С помощью каркаса поверхности можно решать и позиционные и метрические задачи.
На рис. 7.7 приведен пример каркаса поверхности, состоящей из двух ортогонально расположенных семейств линий а1, а2, а3,…, аn, b1, b2, b3,…bn.
Определитель поверхности
Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если определён закон нахождения любой её точки.
Кинематический способ образования поверхности можно представить как множество положений движущейся линии или поверхности.
При этом кинематические поверхности можно разделить на четыре группы. К первой группе можно отнести поверхности, которые образуются движением образующей линии постоянного вида. Ко второй группе относят поверхности, которые образуются движением образующей линии, меняющей свой вид при движении. К третьей группе относят поверхности, которые образуются движением образующей поверхности, сохраняющей при движении свой вид и размеры. Поверхности, образующиеся при движении образующей поверхности, меняющей свой вид и размеры при движении.
Этот способ дает возможность сформулировать понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.
Определитель поверхности состоит из двух частей:
Геометрической части – совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.
Алгоритмической части – алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.
Чтобы найти определитель поверхности, следует исходить из кинематического способа образования поверхности.
Для того чтобы построить чертеж поверхности, необходимо предварительно выявить ее определитель. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший.
Поверхность на чертеже задают проекциями геометрической части ее определителя. Определитель кривой поверхности Ф может быть представлен в символической форме: Ф(Г)[А], где (Г) – геометрическая часть, [А] – алгоритмическая часть. Для каждой поверхности обе части определителя имеют вполне конкретное содержание.
Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если относительно любой точки пространства, заданной на чертеже, можно однозначно решить вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Построение проекций любых точек и линий, принадлежащих поверхности, а также второй их проекции, если одна задана, выполняется на основании ее определителя.
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности.
Рассмотрим примеры выявления определителя для некоторых простейших поверхностей:
Через три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость ∑ (рис. 7.8, а).
а б
Рис.7.8. Примеры определителя:
а − алгоритмическая часть; б − геометрическая часть
Точки А, В и С составляют геометрическую часть определителя плоскости. Вторая часть определителя, т. е. алгоритм построения в плоскости ∑ (А, В, С) любых линий и точек, выражается рассмотренными ранее условиями принадлежности прямой и точки плоскости.
На чертеже (рис. 7.8, б) плоскость ∑ задана проекциями геометрической части своего определителя: А(А1А2), В(В1В2), С(С1С2).
Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой ℓ║ i вокруг оси i (рис. 7.9. а).
Геометрическая часть определителя поверхности состоит из образующей линииℓ и оси i. Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей линии ℓвокруг оси i.
Определитель цилиндрической поверхности вращения имеет вид Ф(ℓ ║ i, i)[А]. На чертеже (рис. 7.9. б) цилиндр вращения задан проекциями геометрической части своего определителя.
а б
Рис. 7.9. Определитель цилиндрической поверхности:
а – поверхность образована вращением прямой ℓ║i вокруг оси i;
б – цилиндр вращения задан проекциями геометрической части
своего определителя
Поверхности вращения называют цилиндрической, если образующая прямая линия параллельна оси вращения и конической, если образующая прямая линия пересекается с осью вращения. В технике, строительстве, архитектуре и бытовых случаях часто используют поверхности вращения второго порядка (линейчатые и нелинейчатые). К линейчатым поверхностям вращения относятся цилиндрические, конические и однополостный гиперболоид вращения. К нелинейчатым поверхностям второго порядка относятся поверхности сферы, эллипсоида вращения, параболоида вращения и двуполостный гиперболоид вращения.
Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямойℓ, пересекающей ось вращения i под некоторым углом (рис. 7.10, а).
а б
Рис. 7.10. Изображение определителя конической поверхности:
а – алгоритмическая часть; б – геометрическая часть
Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей прямой линии ℓ вокруг оси i.
Определитель рассматриваемой конической поверхности вращения может иметь вид Ф(ℓ ∩ i)[A].
На чертеже (рис. 7.10, б) конус вращения задан проекциями геометрической части его определителя:ℓ{(ℓ1ℓ2) 
i(i1i2)}. Даны фронтальные проекции точек А и В этой поверхности. Далее построить очерковую образующую поверхности на фронтальной плоскости проекций П2(ℓ2). Для этого нужно отметить точку S2 и построить в ней (как в вершине) угол α° ≡ α°2 =i2 ∩ ℓ2.
Нужно помнить, что очерковые образующие могут быть построены и по-другому. Можно использовать нормальное сечение поверхности (например, окружность) или вписать сферу в коническую поверхность вращения.
В указанных примерах определитель поверхности выявляется путем анализа способов ее образования.
Рассмотрим пример выявления определителя поверхности путем анализа ее основных свойств.
Возьмем, например, сферу.
Сферой называется поверхность, образованная множеством точек пространства, находящихся на определённом расстоянии от заданной точки O.
Различают две части определителя: алгоритмическую (описательную) и геометрическую. Обе части состоят из независимых условий. Например, определитель сферы имеет следующее описание: сфера – геометрическое место точек, удалённых от заданной точки (центра сферы) на равное расстояние. За это равное расстояние принимается радиус сферы (R=ОА).
За геометрическую часть принят комплексный чертёж прямой ОА, изображенный на рис. 7.11, а. Известно, что поверхности могут быть заданы несколькими определителями. Это относится и к поверхности сферы.
В рассматриваемом случае поверхность сферы может быть получена, в отличие от первого случая, вращением окружности m вокруг диаметра ВС (ВС ⊂ i), а геометрической частью могут быть комплексные чертежи окружности m и диаметра ВС (рис. 7.11, б). Ось вращения i на рисунке проведена через диаметр ВС.
Если поверхность имеет несколько определителей, то выбирают, обычно, тот, который удобней и проще.
Рассмотренные выше варианты задания сферы символически можно записать в следующем виде: Ф = {О; R = │ОА│} (рис.7.11, а); Ф = {i; m} (рис. 7.11, б).
а б
Рис. 7.11. Примеры определителей сферы на комплексных чертежах, заданных: а – прямой ОА; б – окружностью m
При чтении чертежа немаловажную роль играет его наглядность. Задание поверхности сферы проекциями геометрической части ее определителя не всегда может обеспечить наглядность её изображения. Поэтому для придания чертежу поверхности большей наглядности и выразительности часто прибегают к построению проекций ее очерков. Наглядное изображение сферы с проекциями очерков на плоскостях проекций П1, П2, П3 представленона рис. 7.12, а.
а б
Рис. 7.12. Примеры изображения сферы с её очерками:
а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж
Сфера проецируется на любую плоскость проекций в виде окружности, диаметр которой равен диаметру сферы. Очерк сферы на П1 определяется проекцией окружности, называемой экватором сферы, на П2 определяет проекция окружности, называемая главным меридианом, а на П3 – профильным меридианом.
Пример изображения очерковых линий сферы на комплексном чертеже представлен на рис. 7.12, б.
При проецировании поверхности никакая её точка не может спроецироваться за пределами очерка. На рис. 7.12, а рассмотрены две точки А и В, принадлежащие главному и профильному меридианам сферы, а на рис.7.12, б предложен комплексный чертёж этих точек.
При построении комплексного чертежа сферы направление проецирования совпадает с направлением взгляда наблюдателя и поэтому контурная линия поверхности является линией смены видимости этой поверхности. В этом случае та часть сферы, которая расположена между глазом наблюдателя и линией контура, является видимой, а та, которая находится за линией контура, будет невидимой. Следовательно, точки, которые будут находиться на контурной линии, будут точками смены видимости.
Кривые поверхности разделяются на линейчатые и нелинейчатые, закономерные и незакономерные. Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии, которая должна проходить через определённую точку пространства (вершину) и иметь неподвижную направляющую линию в пространстве. В противном случае поверхность будет нелинейчатой.
Все линейчатые поверхности делятся на группы, в зависимости от числа направляющих, их формы и относительного положения направляющих.
Если поверхность может быть задана каким-либо уравнением, она называется закономерной, в противном случае – незакономерной, или графической (задается только чертежом).
Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическое уравнение n-й степени (в декартовых координатах) задает алгебраическую поверхность n-го порядка (трансцендентные поверхности порядка не имеют). Алгебраическая поверхность n-го порядка пересекается плоскостью по кривой n-го порядка, а с прямой линией –
в n точках.
Плоскость, имеющую уравнение первой степени (с произвольной плоскостью пересекается по прямой линии, ас прямой – в одной точке), можно рассматривать как поверхность первого порядка.
Примерами кривых поверхностей второго порядка могут служить поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг одной из своих осей.
Поверхности второго порядка пересекаются с произвольной плоскостью по кривым второго порядка, а с прямой – в двух точках.
Примером поверхности четвертого порядка может служить тор (см. поверхности вращения).
Определитель может быть положен в основу классификации поверхностей. К одному и тому же классу относятся поверхности, имеющие одинаковую структуру определителя.
По закону движения образующих поверхности можно разделить на:
– поверхности общего вида;
– поверхности вращения;
– винтовые поверхности;
– поверхности переноса.
По форме образующих поверхности можно разделить на:
– линейчатые (образующая – прямая линия);
– нелинейчатые (образующая – кривая линия).
Линейчатые поверхности делятся по условиям движения – с одной направляющей, с двумя направляющими и направляющей поверхностью и с тремя направляющими.
Нелинейчатые поверхности можно разделить на поверхности с образующей постоянного и переменного видов.
Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы.