Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
11. ОСНОВАТЕЛИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
При развитии науки и технологий в настоящее время можно изобразить не только существующие, но и воображаемые объекты. Изображения могут быть плоскими и рельефными. К плоским изображениям можно отнести: картины, фотографии, рисунки и чертежи. К рельефным изображениям можно отнести всякого рода объекты [7].
Возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием различных ремёсел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира. Об этом говорят названия геометрических фигур: «трапеция» «трапезион» – столик, «конус» «конос» – сосновая шишка, «линия», «линум» – льняная нить [6].
Необходимость изображений объектов на плоскости появилась у людей в древности. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного человека на стенах пещер, где он пытался графически рассказать о важных событиях в его жизни.
Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развивалась не только из измерений Земли, но также из измерений объемов и площадей при земляных и строительных работах. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах частей, а также о преобразованиях фигур.
Начертательная геометрия раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений. В этом же разделе рассматриваются методы решения и исследования пространственных задач на плоскости [7].
Данный раздел возник из практических потребностей человека. Запросы точного естествознания, техники, промышленности и искусства способствовали развитию этой науки. Необходимость изображать окружающие и вновь создаваемые предметы появились на заре человеческой культуры. Еще в глубокой древности было установлено, что основой для построения изображений, отвечающих определенным условиям, является проекционный чертеж. Примерами использования проекционных методов служат рисунки на граните, сохранившаяся стенная живопись, изображения в папирусах. Содержание древней росписи в китайском шелке и на стенах пещерных храмов Аджанты в Индии весьма разнообразно. Но в основе каждого из этих памятников лежит изображение реальных предметов трехмерного пространства.
Первые архитекторы должны были уметь проектировать и строить не только храмы и дворцы, но и боевые машины, подобные баллистам и катапультам.
По Витрувию, собственно, архитектура состоит из ординации (проектирования), диспозиции (планировки), соблюдения эвритмии, декорума, симметрии и дистрибуции (экономического расчета). В этом перечне встречаются слова, имеющие ныне совершенно другое значение. Ординация, поясняет Витрувий, придает надлежащую меру отдельным частям, в то время как симметрия устанавливает соразмерность количественных пропорций между частями и целым. «Симметрия – есть гармоничность, составляющаяся из членений самого здания и соответствующая ему в целом; это есть идущий от всех отдельных его частей к облику целостной его фигуры отклик соизмеримости со взятой за стандарт его некоей частью»[8].
В глубокой древности, в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве, возникла такая наука как перспектива.
Способы построения перспективных изображений были изложены в трактате «Десять книг об архитектуре» древнегреческого ученого и архитектора Витрувия (конец I в. до н. э.).
История свидетельствует, что египетские пирамиды и храмы, величайшие сооружения Древней Греции и Рима были построены по изображениям прототипам современных чертежей, в которых использовались элементы перспективы. Начала геометрии, и в частности перспективы, можно встретить в трудах древнегреческих и римских ученых.
Относительно точные сведения об уровне геометрических знаний в Древнем Египте сообщает папирус Ахмеса (измерение земельных участков, вычисление пирамид). Основателем геометрии в Греции считают финикиянина Фалеса Милетского, получившего образование в Египте (624-547 гг. до н.э.). Он основал школу геометров, которая положила начало научной геометрии. Ученику Фалеса Пифагору Самосскому (580-500 гг. до н.э.) принадлежат первые открытия в геометрии: теория несоизмеримости некоторых отрезков, например, диагонали квадрата с его стороной, теория правильных тел, теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника. Преемник Пифагора Платон (427-347 гг. до н.э.) ввел в геометрию аналитический метод, учение о геометрических местах и конические сечения. Существовавшая до сих пор элементарная геометрия была расширена и ее названа трансцендентной [8,9].
Систематизировал основы геометрии, восполнил ее пробелы великий александрийский ученый Евклид (III в. до н.э.) в своем замечательном труде. «Начала». Это первый серьезный учебник, по нему в течение двух тысячелетий учились геометрии. Современные учебники элементарной геометрии представляют собой переработку «Начал».
«Золотым веком» греческой геометрии называют эпоху, когда жили и творили математики Архимед (287-195 гг. до н.э.), Эрастофен (275-195 гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250-190 гг. до н.э.). Измерение криволинейных образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения длины окружности, площади круга, сегмента параболы и спирали, объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др. Это были главные дополнения к «Началам» Евклида. Трактатом о конических сечениях прославил свое имя Аполлоний. Трудами последнего, можно сказать, завершается классическая геометрия [6].
Расцвет классической культуры в средние века сменился застоем. В изобразительном искусстве не использовались применявшиеся в древности сведения о перспективе. Глубокий кризис затянулся до эпохи Возрождения.
И только с возрождением строительства и искусств в эпоху Ренессанса в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. В связи с развернувшимся строительством различных сооружений возродилось и расширилось применение употреблявшихся в античном мире элементов проекционных изображений. Наиболее бурно в это время развивались архитектура, скульптура и живопись в Италии, Нидерландах, Германии, что поставило художников и архитекторов этих стран перед необходимостью начать разработку учения о живописной перспективе на геометрической основе. Появились новые понятия: центр проецирования, картинная плоскость, линия горизонта, главные точки и т.д.
Появилась линейная прямая перспектива. Это вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Эта перспектива применяется художниками и архитекторами для построения перспективных изображений на наклонных плоскостях. Применяют её и в монументальной живописи при росписи на наклонных фризах внутри помещений дворцовых сооружений и соборов. Построение перспективных изображений на горизонтальной плоскости применяют при росписи потолков (плафонов).
Еще одним фундаментальным понятием науки, которое имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является «симметрия».
Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул. Понятие «симметрии» является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла.
Особенно широко понятие «симметрии» применительно к физическим и химическим законам в современной науке.
Принцип «симметрии» широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемые в прикладном искусстве, все это примеры использования симметрии. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.
Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.
Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и «Золотым сечением».
Аналитические и дифференциальные методы сложны в применении. «Геометрию надо строить геометрически» (“Geometria geometrice”) – была поговорка среди математиков. Появилась еще одна ветвь геометрии – проективная, в основу которой положен метод проектирования, где нет понятий о числе и величине. Творцами нового направления считаются французские математики Понселе, Шаль, Мебиус. Основу этой науки заложил Дезарг. Он указал, что изображение предмета в ортогональных проекциях и линейной перспективе родственны с геометрической точки зрения [4].
Развитию «вольной перспективы» посвятил свои работы английский математик Тейлор (1685-1731 гг.), разработавший способы решения основных позиционных задач и определения свойств оригинала по его перспективному изображению. Немецкий геометр Ламберт (1728-1777 гг.) применил метод перспективы к графическому решению задач элементарной геометрии, используя свойства афинного соответствия (афинная геометрия). Ламберт решал и обратную задачу – реконструирование объекта по его чертежу, выполненному в центральной проекции.
Французский инженер Фрезье (1682-1773 гг.) объединил работы предшественников в труде «Теория и практика разрезки камней и деревянных конструкций» (1738-1739 гг.), решил задачи построения конических сечений по усложненным данным.Он внёс большой вклад в развитие ортогональных проекций и впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости – горизонтальную и фронтальную.
Однако строгой теории к представленному собранию отдельных приемов решения задач Фрезье не подвел.
Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии как науки признан французский геометр Гаспар Монж (1746-1818 гг.). Знания, о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил. Этими знаниями он поднял начертательную геометрию на уровень научной дисциплины.
Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверили преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены им самим.
Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год [6].
В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам – математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации его книги вплоть до 1799 года. Книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométriedescriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’applicationdel’analyse à lagéometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.
В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.
Влюбленный в свое детище – начертательную геометрию, Монж писал: «Очарование, сопровождающее науку, может победить свойственное людям отвращение к напряжению ума и заставить их находить удовольствие в упражнении своего разума, – что большинству людей представляется утомительным и скучным занятием» [9].
Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих ученых. Наиболее полное изложение идей Монжа по ортогональным проекциям дал Г. Шрейбер (1799-1871 гг.), написавший «Учебник по начертательной геометрии» (по Монжу). Он обогатил начертательную геометрию изложением ее на проективной основе, применив идеи Шаля, Штаудта, Рейе, Штейнера и др., разработал теорию теней и сечений кривых поверхностей. Заметны труды ученых немецкой школы. Геометр Вильгельм Фидлер в книге «Начертательная геометрия», изданной в 1871 году, в органической связи с геометрией проективной представил первый обширный курс дисциплины, стоящий на уровне современных требований. Прогрессивными в преподавании были лекции Эмиля Мюллера, продолжившего научное направление Фидлера. В работах А. Манигейма (1880 г.) исследованы вопросы кинематического образования кривых линий и поверхностей в ортогональных проекциях. Обоснование теории аксонометрии дал Вейсбах, технические примеры применения аксонометрии показали братья Мейер.
Развивая теорию аксонометрии, профессор Академии изобразительных искусств и Строительной академии в Берлине Карл Польке (1810-1876 гг.) в 1853 г. открыл основную теорему аксонометрии. Доказательство этой теоремы в 1864 г. вывел немецкий геометр Г.А. Шварц. Обобщенная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке-Шварца. Простое доказательство этой теоремы дал в 1917 г. профессор Московского университета А.К. Власов. Московский геометр Н.А. Глаголев продолжил работы этого направления, он доказал, что теорема Польке-Шварца есть предельный случай более общей теоремы о параллельно-перспективном расположении двух тетраэдров. Привлекают работы австрийского геометра Эрвина Круппа, получившие развитие в трудах русских ученых Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина.
В середине XIX века зарождается и получает развитие начертательная геометрия многих измерений – многомерная геометрия. Итальянский математик Веронезе и голландский ученый Скаутте дают начало этому новому направлению. В России многомерная начертательная геометрия развивалась в связи с проблемами физико-химического анализа многокомпонентных структур (сплавов, растворов), состоящих из большого числа элементов. Вместо точек за основные элементы принимаются различные геометрические образы и строится бесчисленное множество плоских геометрических систем (системы параллельных отрезков, векторов, окружностей и т.д.).
К началу XX века относится зарождение векторно-моторного метода в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике и машиностроении. Этот метод разработан Б. Майором, Р. Мизесом и Б.Н. Горбуновым.
Развитие начертательной геометрии в России можно разделить на три периода.
I период – до XIX века (Р. Санников, И.П. Кулибин, Д.В. Ухтомский, М.Ф. Казаков, В.И. Баженов и др.);
II период – от начала XIX века до 1917 года.
В XVII веке в России успешно развивались технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очередь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И.П. Кулибина (1735-1818 гг.). В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773).
Рождение этой новой науки в России почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения – Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 г.)
Питомцы этого института, его профессора и ученые внесли большой вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии.
Впервые в России курс начертательной геометрии был прочитан в 1810 году в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения французским инженером К.И. Потье, учеником Г. Монжа. На русский язык курс переведен помощником К.И. Потье по институту Я.А. Севастьяновым (1796-1849 гг.).
В 1812 г в России вышел в свет первый оригинальный курс начертательной геометрии «Основания начертательной геометрии» Я.А. Севастьянова, которому в 1824 году было присвоено звание первого русского профессора начертательной геометрии. Его курс отличался от курса Потье обстоятельным изложением теоретических вопросов и терминологией, сохранившейся до настоящего времени. Структура курса Севастьянова оставалась неизменной до опубликования в 1870 г. полного курса начертательной геометрии проф. Н.И. Макарова (1824-1904 гг.).
Классическим учебником является «Курс начертательной геометрии» проф. В.И. Курдюмова (1853-1904 гг.).
В первой половине XX века значительный вклад в учебную литературу по начертательной геометрии внёс профессор Н.А. Рынин (1887-1942 гг.), который показал возможные области применения начертательной геометрии.
После Октябрьской социалистической революции начертательная геометрия получила дальнейшее развитие. В вузах страны были организованы специальные кафедры, созданы учебно-методические советы и появились новые учебники и другая учебно-методическая литература по начертательной геометрии. Последователем его идей был Д.И. Каргин (1880-1949 гг.).
III период – советский. На протяжении многих лет во главе советской школы начертательной геометрии стоял известный учёный и педагог проф. Н.Ф. Четверухин (1891-1974 гг.). А.Д. Посвянский (1909-1991 гг. ) был учеником Н.Ф. Четверухина и приложил много усилий для разработки алгоритмов решения задач на пересечение поверхностей. Значительный вклад в развитие начертательной геометрии внесли проф. И.И. Котов (1909-1976 гг.), В.О. Гордон (1892-1971 гг.), Н.С. Кузнецов (1915-1980 гг.).
В настоящее время российские учёные совершенствуют методы изображений, теорию конструирования поверхностей в начертательной геометрии с учетом развития техники и компьютерных технологий. Успехи в решении указанных задач в немалой степени зависят и от деятельности современных исследователей.
Начертательная геометрия сыграла значительную роль в упорядочении человеческого мышления. Это лучший способ развития интеллектуальных и творческих способностей. Можно отметить значение геометрии для естествознания, для понимания того, как устроен мир. Геометрия нужна и в практической жизни: каждый человек должен иметь простейшие представления о геометрических фигурах. Геометрия играет важную роль во многих профессиях.
Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.
Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М.К. Эшера, они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту – в чисто геометрических конструкциях и построениях.
Потребность в построении изображений по законам геометрии (проекционных чертежей) возникла из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д., а на позднем этапе – из запросов машиностроения и техники.