Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Осипов Г. С.,

2.1. Моделирование и оптимизация одноканальных СМО

На рис. 2.1 представлен граф состояний для одноканальной системы, где для удобства состояния системы s₀, s₁, ..., s_k, ... нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО.

Рис. 2.1. Граф состояний для одноканальной СМО с неограниченной очередью

Система может находиться в одном из состояний:

s₀ – канал свободен;

s₁ – канал занят (обслуживает заявку), очереди нет;

s₂ – канал занят, одна заявка стоит в очереди;

…

s – канал занят, (k – 1) заявок стоит в очереди;

…

По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево – поток обслуживания с интенсивность μ.

Основные характеристики рассматриваемых систем сведены в табл. 2 [3].

Таблица 2

Показатели работы СМО

Исследуем одноканальные системы массового обслуживания с очередью, на которую не наложено ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания) на примере входящего судопотока в морском порт, имеющий один канал – специализированный грузовой терминал и рейд для ожидания судов очереди на выполнение погрузочно-разгрузочных работ у терминала.

При проектировании новых портов с терминалом для обслуживания перспективного грузопотока (судопотока), а также для повышения эффективности функционирования существующих терминалов целесообразно предварительно построить имитационную модель системы, исследуя которую можно найти оптимальные параметры функционирования реальной системы. Таким образом, имитационная и оптимизационная составляющая модели должны составлять единый взаимоувязанный комплекс, обеспечивающий эффективное решение задачи минимизации приведенных совокупных затрат по эксплуатации терминала и по содержанию судов во время их пребывания в очереди и у терминала.

Моделирование систем массового обслуживания подчинено парадигме дискретно-событийного имитационного моделирования. Это совокупность операций или процессов с заявками, подчиненных причинно-следственным связям. На рис. 2.2 представлена процессная диаграмма одноканальной СМО [3].

Рис. 2.2. Принципиальная схема одноканальной СМО

В одноканальной СМО с неограниченной очередью оптимизация подразумевает обеспечение такого соотношения интенсивностей поступления заявок (λ) и их обслуживания (m) при котором обеспечивается минимум суммарных (совокупных) затрат по ожиданию заявок в очереди и обслуживания в канале. Очевидно, эти совокупные затраты f определяются приведенной интенсивностью потока заявок (см. табл. 2), т.е. f = f(ρ). Ясно, что стремление минимизировать затраты, связанные с ожиданием в очереди, приводит к увеличению расходов в канале (обслуживания). И наоборот минимизация затрат на обслуживание заявок (увеличение интенсивности нагрузки канала) приведет к возрастанию времени (и соответственно затрат) ожидания в очереди.

В рассматриваемой проблеме параметром оптимизации является интенсивность нагрузки терминала, а целевой функцией – суммарные приведенные затраты по судам и терминалу [4].

Минимизация расходов по терминалу возможна при условии его полного использования (отсутствия свободных резервов), а это, в свою очередь, ведет к возрастанию простоев судов. С другой стороны, минимизация расходов по судам может быть обеспечена за счет увеличения пропускной способности терминала, однако это, очевидно, связано с дополнительными затратами по устройству и содержанию терминала

Затраты по судам могут быть найдены так:

(1)

Соответственно, затраты по терминалу:

(2)

Сложив выражения (1) и (2) и разделив на планируемый грузооборот G = ρП получим суммарные приведенные затраты по судам и терминалу (УЕ/т):

Таким образом в среде AnyLogic решается следующая экстремальная задача:

На рис. 2.3 представлены графики затрат по судну, терминалу их сумма и приведенных затрат в зависимости от интенсивности нагрузки терминала.

Увеличение пропускной способности терминала (П > G) приводит к увеличению затрат по терминалу и и как следствие к уменьшению значения γ = γ(ρ), а следовательно и затрат по судам.

На рис. 2.4 представлена принципиальная расчетная схема определения основных показателей функционирования системы.

Рис. 2.3. Зависимость затрат в системе от загрузки терминала

Рис. 2.4. Расчетная схема

Фрагмент результатов оптимизационного эксперимента, выполненного в среде AnyLogic, представлен на рис. 2.5. Видно, что приведенные суммарные затраты составляют 0,748 (УЕ/т), при этом интенсивность нагрузки терминала равна 0,44.

Рис. 2.5. Результаты решения оптимизационной задачи

Следует отметить, что дополнением к процедуре решения оптимизационных задач в среде AnyLogic выступает надстройка, позволяющая проводить параметрический анализ решения. Это дает возможность проанализировать влияние того или иного параметра на целевую функцию, выявить качественные и количественные закономерности этого влияния. В качестве примера на рис. 2.6 представлены результаты работы процедуры параметрического эксперимента – выявлена зависимость целевой функции задачи от интенсивности нагрузки терминала.

Рис. 2.6. Результат параметрического эксперимента