Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА

Обухов А. Г., Сорокина Е. М.,

§4. Определение начальных условий для полной системы уравнений Навье – Стокса

В данном учебном пособии математически и численно моделируются два конкретных физических процесса:

1) возникновение свободной конвекции в атмосфере Земли при локальном круговом нагреве ее поверхности;

2) возникновение свободного конвективного течения газа в замкнутой теплоизолированной емкости при локальном кольцевом нагреве ее нижней поверхности.

Возникновение свободной конвекции в атмосфере Земли при локальном круговом нагреве ее поверхности

Пусть над поверхностью Земли в поле силы тяжести находится в покое атмосферный воздух (рис. 4.1). С некоторого момента времени t > 0 локальный участок поверхности Земли начинает нагреваться за счет солнечной энергии. Прилегающий к области нагрева воздух начинает двигаться вверх. Такие восходящие потоки воздуха согласно наблюдениям бывают очень мощными со скоростями в несколько десятков метров в секунду. Поскольку воздух является вязкой сжимаемой сплошной средой, то восходящий поток инициирует движение воздуха в окружающем пространстве. Другими словами под действием силы тяжести за счет градиента температуры возникает свободная конвекция атмосферного воздуха. Математическое и численное моделирование возникающих сложных конвективных течений воздуха над нагревающейся областью поверхности Земли и является одной из задач данного учебного пособия.

Рис. 4.1. Схема конвективного течения атмосферного воздуха

Возникновение свободного конвективного течения газа в замкнутой теплоизолированной емкости при локальном кольцевом нагреве ее нижней поверхности

Пусть на поверхности Земли в поле силы тяжести находится замкнутый кубической формы контейнер с находящимся в нем в покое атмосферным воздухом (рис. 4.2). Начиная с некоторого момента времени t > 0 локальный участок дна этого контейнера, начинает нагреваться с помощью нагревателя кольцевой формы. При этом в замкнутом контейнере под действием силы тяжести за счет градиента температуры возникает свободная конвекция воздуха. Математическое и численное моделирование возникновения сложных конвективных течений воздуха в замкнутой теплоизолированной емкости при локальном кольцевом нагреве ее нижней поверхности является второй задачей, описанной в данном учебном пособии.

Рис. 4.2. Схема конвективного течения воздуха в замкнутой емкости

Поскольку в указанных двух задачах рассматривается возникновение конвективного течения газа при локальном нагреве нижней поверхности, то для его описания и моделирования используются законы газовой динамики. Именно поэтому основной математической моделью исследования таких течений может быть выбрана полная система уравнений Навье – Стокса.

Полная система уравнений Навье – Стокса, записанная в безразмерных переменных с учетом действия силы тяжести в векторной форме имеет следующий вид [117]:

(4.1)

где t – время; x, y, z – декартовы координаты; ρ – плотность газа; V = (u, v, w) – вектор скорости с проекциями на соответствующие декартовы оси; T – температура; g = (0, 0, –g) – вектор ускорения силы тяжести; ∇ и div – операторы градиента и дивергенции по декартовым пространственным переменным. Система (4.1) в дифференциальной форме передает законы сохранения массы, импульса и энергии в движущейся сплошной среде.

В системе (4.1) значения безразмерных положительных констант μ0 и κ0 – коэффициентов вязкости и теплопроводности следующие:

(4.2)

константы μ* и κ* задают размерные значения этих коэффициентов, а масштабные значения удельной теплоемкости при постоянном объеме, плотности, скорости и расстояния соответственно – cV0, ρ00, u00, x00. При исследовании течений вязкого теплопроводного газа вводятся числа Рейнольдса и Прандтля:

(4.3)

Тогда , . Для воздуха обычно полагают Pr = 0,72, а показатель политропы γ = 1,4 – и тогда κ0 ≈ 1,46μ0. Таким образом, в расчетах безразмерные коэффициенты вязкости и теплопроводности имеют значения μ0 = 0,001; κ0 ≈ 1,46μ0.

В системе (4.1) стандартным образом введены безразмерные переменные

(4.4)

где f* – размерная переменная; f00 – ее масштабное значение. При заданных масштабных значениях расстояния x00, плотности ρ00 и температуры T00 масштабные значения времени t00 и скорости u00 связаны соотношением: . В качестве масштаба скорости берется

(4.5)

значение скорости звука в воздухе при стандартных условиях [118],

ρ00 = 1,2928 кг/м3; T00 = 288 °K = 15 °C. (4.6)

Безразмерное значение константы g задается следующим образом:

g* = 9,8 м/с2. (4.7)

Если, например, в качестве масштаба расстояния при введении безразмерных переменных взята величина x00 = 104 м, то масштабное значение времени t00 будет равно тридцати секундам и получится следующее безразмерное значение константы g = 0,882. Если, не меняя масштаба скорости, увеличить (уменьшить) масштаб расстояния в заданное число раз, то значения констант t00 и g также увеличатся (уменьшатся) в такое же число раз.

Уравнения состояния идеального газа, задающие размерные значения давления p и внутренней энергии e такие [118]:

p* = Rρ*T*; e* = cV0T*; R, cV0 = const > 0, (4.8)

и тогда , где R – универсальная газовая постоянная. При указанном выше способе введения безразмерных переменных уравнения состояния (4.8) переходят в следующие уравнения:

p = ρT; e = T. (4.9)

Система (4.1) имеет смешанный тип: первое уравнение – уравнение неразрывности (дифференциальная форма закона сохранения массы) – образует гиперболическую часть системы, так как определяет в течениях сжимаемой теплопроводной вязкой сплошной среды наличие слабого разрыва на контактной поверхности [116, 117]; второе и третье уравнения – уравнения движения и энергии (дифференциальные формы законов сохранения импульса и энергии соответственно) – составляют параболическую часть системы, так как содержат вторые производные скорости и температуры по пространственной переменной.

Не смотря на то, что полная система уравнений Навье – Стокса сформулирована и записана давно, выбор ее в виде (1) в качестве основной математической модели для описания конвективных течений газа, как сжимаемой вязкой теплопроводной сплошной среды, несет в себе значительный элемент новизны. Это связано с большими вычислительными сложностями при численном построении решений этой системы из-за наличия в ней дополнительных слагаемых, описывающих диссипативные свойства. Поэтому публикаций с результатами расчетов нестационарных и трехмерных конвективных течений в данной математической модели крайне мало.

Рассмотрение модели, основанной на решении полной системы уравнений Навье – Стокса, а не системы уравнений газовой динамики при описании конвективных течений сплошной среды оправдано по следующим соображениям [96]. Использование системы уравнений газовой динамики [89–92, 96] для моделирования течений газа без учета физических эффектов вязкости и теплопроводности обосновано для определенных диапазонов изменения скорости и температуры. Однако, во многих случаях при использовании системы уравнений газовой динамики либо в угловых точках расчетной области, либо при возникновении в течении больших значений производных искомых функций по пространственным переменным возникают нефизические осцилляции, получившие у вычислителей название «пилы». Для борьбы с этим явлением часто в разностные схемы вносят дополнительные слагаемые или вычислительные приемы, которые сглаживают, или даже уничтожают «пилы». С точки зрения уравнений с частными производными добавление этих слагаемых или использование специальных приемов равносильно тому, что либо к системе приписываются диссипативные слагаемые, либо неявно вводится учет диссипативных процессов. Эти приемы обычно называются введением искусственной вязкости, поскольку они не несут явного физического смысла.

Для преодоления вычислительных эффектов типа «пилы» предлагается включать в систему уравнений газовой динамики такие диссипативные члены, которые имеют четкий физический смысл. То есть, учитывать вязкость и теплопроводность так, чтобы для решений новой системы уравнений с частными производными продолжали выполняться фундаментальные законы сохранения массы, импульса и энергии, а также законы термодинамики через вид уравнений состояния. И как самое простое средство для реализации такого подхода – использование полной системы уравнений Навье – Стокса (4.1), а не системы уравнений газовой динамики.

Полная система уравнений Навье – Стокса (4.1) в подробной (скалярной форме) записи имеет следующий вид:

(4.10)

Функции

u = 0; v = 0; w = 0; (4.11)

T0(z) = 1 – kz; I = 0,0065 К/м; x00 = 104 м; T00 = 288 °К (4.12)

и

ρ0(z) = (1 – kz)v–1; (4.13)

задают точное решение [94] системы (4.1) или (4.10) и могут быть использованы в качестве начальных условий при описании конвективных течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды в случае постоянных значений коэффициентов вязкости и теплопроводности. Функции (4.11)–(4.13) описывают начальное стационарное распределение покоящейся сплошной среды, в которой плотность и температура которой убывает с увеличением пространственной координаты z. Зависимости (4.12) и (4.13) только приближенно передают соответствующие зависимости, полученные для воздуха в результате физических наблюдений и экспериментов. Однако до высоты в десять километров, и особенно до высоты в пять километров, эти теоретические зависимости и качественно, и количественно хорошо передают данные натурных наблюдений за параметрами атмосферы Земли [94].