Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ОПТИМАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ФОРМИРУЕМЫХ В РСА

Доросинский Л. Г.,

2.2. Критерии минимума среднего риска (критерии Байеса)

Постановка нашей задачи предполагает, что верна либо гипотеза Н₀, либо Н₁. При каждом испытании возможен один из четырех исходов:

1. Верна гипотеза Н₀, принимаем решение Н₀.

2. Верна гипотеза Н₀, принимаем решение Н₁.

3. Верна гипотеза Н₁, принимаем решение Н₁.

4. Верна гипотеза Н₁, принимаем решение Н₀.

Первый и третий варианты соответствуют истинным решениям, а второй и четвертый – ошибочным.

Смысл описываемого критерия решения состоит в том, что каждому из возможных исходов приписывается некоторая относительная стоимость (штраф), которая выбирается из эвристических соображений. Обозначим стоимости упомянутых выше исходов наблюдения вектора через С₀₀, С₁₀, С₁₁, С₀₁ соответственно. Первая цифра подстрочного индекса означает выбранную гипотезу (принятое решение), а вторая – гипотезу, которая была правильной.

Следующее допущение состоит в том, что каждой из исходных гипотез соответствуют априорные вероятности Р₁ и Р₀.

Каждый опыт, связанный с наблюдением реализации входного случайного процесса, будет сопряжен с определенными потерями, оцененными в форме вышеупомянутых стоимостей. Таким образом, стоимость – случайная величина вероятность которой есть вероятность события, заключающегося в том, что принимается i-я гипотеза, а справедлива j-я. Необходимо сформулировать критерии принятия решения таким образом, чтобы минимизировать среднюю величину стоимости, иначе говоря, минимизировать средний риск:

(2.2.1)

где Р_ij – вероятность совместного выполнения двух событий: принимается решение в пользу i-й гипотезы, а истинной является j-я.

Использование формулы умножения вероятностей позволяет получить выражение

 P_ij = P_j p(H_i / H_j) , (2.2.2)

где Р(Н_i/Н_j) – условная плотность вероятности принять решение в пользу i-й гипотезы при истинной j-й.

С учетом (1.2.2) запишем выражение среднего риска:

(2.2.3)

Поскольку мы предполагаем, что в итоге следует выбрать либо Н₁, либо Н₀, правило решения заключается в разбиении пространства наблюдения на две части: Г₁ и Г₀ (рис. 2.1). Если результат наблюдения вектор оказывается в Г₀, то принимается решение в пользу гипотезы Н₀, а если в Г₁ – то в пользу Н₁.

Рис. 2.1. Область решения

Теперь запишем выражение для риска через условные вероятности и подпространства решения:

(2.2.4)

При записи формулы (2.2.4) учтено, что условная вероятность принятия i-й гипотезы при истинной j-й совпадает с вероятностью попадания вектора , распределенного с плотностью , в подпространство Гi пространства Г (Г_i ⊂ Г).

Далее будем считать, что стоимость ошибочно принятого решения выше, чем стоимость правильного решения, т.е.

C₁₀ > C₀₀; C₀₁ > C₁₁. (2.2.5)

Чтобы определить результат байесовского испытания (минимизировать средний риск), следует выбрать подпространства решений Г₀ и Г₁ так, чтобы величина (2.2.4) была сведена к минимуму.

Поскольку все пространство Г есть сумма Г₀ и Г₁

Г = Г₀ + Г₁, (2.2.6)

постольку перепишем выражение риска в следующем виде:

(2.2.7)

Учитывая условия нормировки

(2.2.8)

выражение (1.2.7) можно привести к виду

(2.2.9)

Первые два члена в (2.2.9) не изменяются, коэффициенты Р₁(С₀₁ – С₁₁) и Р₀(С₁₀ – С₀₀) в силу предположения (2.2.5) положительны. Поэтому для минимизации среднего риска область Г0 принятия нулевой гипотезы должна быть выбрана таким образом, что все значения , при которых второй член подынтегрального выражения больше, чем первый, были включены в эту область, т.к. эти значения вектора наблюдаемых данных вносят отрицательный вклад в интеграл и, следовательно, уменьшают средний риск.

Аналогично все значения , когда второй член подынтегрального выражения меньше первого, следует исключить из Г₀ (отнести к Г1), поскольку ими вносится в интеграл положительная величина. Таким образом, области решения определяются следующим условием, если

(2.2.10)

то относим к Г₁ и, следовательно, утверждаем, что истинна гипотеза Н₁; в противном случае относим к Г₀ и утверждаем справедливость Н₀. Перепишем формулу (2.2.10) в виде

(2.2.11)

Величину в левой части неравенства (2.2.11) называют отношением правдоподобия и обозначают через :

(2.2.12)

Величина в правой части неравенства (2.2.11) является порогом испытания и обозначается через h:

(2.2.13)

Таким образом, критерий Байеса приводит нас к критерию отношения правдоподобия

(2.2.14)

Важно отметить, что необходимые для минимизации среднего риска функциональные преобразования над наблюдаемыми данными заключаются в вычислении , а значения априорных вероятностей и стоимостей учитываются только при определении порога. Указанная инвариантность процедуры обработки информации имеет большое практическое значение. Условие (2.2.14) позволяет определить все устройство обработки, рассматривая h как переменный порог, учитывающий происходящие изменения в наших оценках априорных вероятностей и стоимостей.

Если – монотонная функция, то эквивалентной формой записи критерия отношения правдоподобия будет

В том случае, когда отношение правдоподобия принадлежит к экспоненциальному семейству функций, в качестве функции φ целесообразно выбрать натуральный логарифм:

При этом устройство классификации двух изображений существенно упрощается.