Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.3. Многоальтернативная проверка гипотез

Рассмотрим процедуру принятия решения при наличии нескольких вариантов: изображения нескольких классов, кодовые комбинации, соответствующие нескольким передаваемым сигналам, дактилоскопические исследования группы людей, распознавание букв русского алфавита и т.п.

Итак, предположим, что имеется М 2 альтернатив, причем каждой из них априори приписывают некоторую стоимость и полагают, что задана система априорных вероятностей Р0, Р1,…, РМ–1 для каждой из М возможных гипотез.

Для отыскания байесовского правила решения обозначим названную выше стоимость каждого образа действий через Сij (i-я гипотеза выбрана в качестве истинной, а j-я гипотеза является истинной на самом деле).

Область пространства, в которой мы выбираем гипотезу Hi, обозначим Гi.

Запишем выражение для риска:

doros030.wmf

Решение будет оптимальным при таком разбиении пространства Г на М непересекающихся подпространств, чтобы риск был минимален.

Метод решения данной задачи не отличается от предыдущего. Проиллюстрируем обобщение для М = 3.

Поскольку области не пересекаются, постольку Г0 = Г – Г1 – Г2. Запишем выражение для риска.

doros031.wmf (2.3.1)

После несложных преобразований получим

doros032.wmf

Решение принимается в пользу той гипотезы, для которой соответствующее подынтегральное выражение в формуле (2.3.1) меньше:

doros033.wmf

doros034.wmf (2.3.2)

doros035.wmf

Определим отношение:

doros036.wmf (2.3.3)

и перепишем правило решения (2.3.3) в виде:

doros037.wmf

doros038.wmf

doros039.wmf

Рассмотрим частный случай, когда стоимости ошибочных решений одинаковы и равны единице, а стоимости верных решений считаются равными нулю:

doros040.wmf (2.3.4)

где ?ij – символ Кронекера,

doros041.wmf

При этом получаем простое правило решения:

doros042.wmf

doros043.wmf

doros044.wmf

Подставляя (2.3.3) в (2.3.4), приходим к следующему правилу решения:

doros045.wmf

doros046.wmf

doros047.wmf

В этом случае оптимальный критерий классификации заключается в формировании апостериорной плотности вероятности для каждого возможного класса и выбора максимума.

Обобщение на случай произвольного числа классов М очевидно.

Решение о выборе номера класса производится путем отыскания максимума апостериорной плотности:

doros048.wmf


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074