Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ОПТИМАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ФОРМИРУЕМЫХ В РСА

Доросинский Л. Г.,

2.10.2. Оценка методом kn ближайших соседей

Одна из проблем, с которой сталкиваются при использовании метода парзеновского окна, заключается в выборе последовательности объемов ячеек V₁, V₂ ... Если V₁ слишком мал, то большинство объемов будут пустыми, и оценка р_n(x) будет ошибочной. Если V1 слишком велик, то из-за усреднения по объему ячейки могут быть потеряны важные пространственные отклонения от р(x). Кроме того, вполне может случиться, что объем ячейки, уместный для одного значения x, может совершенно не годиться для других случаев.

Один из возможных способов решения этой проблемы – сделать объем ячейки функцией данных, а не количества выборок. Например, чтобы оценить р(x) на основании n выборок, можно центрировать ячейку вокруг x и позволить ей расти до тех пор, пока она не вместит k_n выборок, где k_n есть некая определенная функция от n. Эти выборки будут k_n ближайшими соседями x. Если плотность распределения вблизи x высокая, то ячейка будет относительно небольшой, что приводит к хорошему разрешению. Если плотность распределения невысокая, то ячейка возрастает, но рост приостанавливается вскоре после ее вступления в области более высокой плотности распределения. В любом случае, если мы берем

(2.10.7)

мы хотим, чтобы k_n стремилось к бесконечности при стремлении n к бесконечности, т.к. этот факт гарантирует, что k_n/n будет хорошей оценкой вероятности попадания точки в ячейку объема V_n. Однако мы хотим также, чтобы k_n росло достаточно медленно для того, чтобы размер ячейки, необходимый для вмещения k_n выборок, сжался до нуля. Таким образом, из формулы (2.10.7) видно, что отношение k_n/n должно стремиться к нулю.

Можно показать, что условия

и

являются необходимыми и достаточными для сходимости р_n(x) и р(x) по вероятности во всех точках, где плотность р непрерывна.