Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Прикладные методы оптимизации

Шукаев Д. Н.,

1.1. Общая постановка

Предметом классических методов оптимизации являются задачи нахождения значений некоторых переменных, подчиненных (условная оптимизация) или не подчиненных (безусловная оптимизация) системе ограничений в виде равенств, при которых достигается максимальное или минимальное значение целевой функции. Целевая функции и функции, определяющие ограничения, должны быть непрерывными и дифференцируемыми. Других ограничений, включая не отрицательность переменных, на характер функций не предполагается. Математическая модель такой задачи может быть представлена в векторной форме

f(x) → max при g(x) = b, (1.1)

где x = (x1, x2, …, xn); b = (b1, b2, …, bm)

или в скалярной форме

f(x1, x2, …, xn) > max;

g1(x1, x2, …, xn) = b1;

… (1.2)

gm(x1, x2, …, xn) = bm.

Предполагается, что n > m. Разность (n – m) – это число степеней свободы. Пересечение этих m уравнений образует допустимое множество решений

X = {x ∈ Eⁿ/g(x) = b}. (1.3)

Для данной постановки, согласно теореме Вейерштрасса [15, 41], оптимальное решение существует, если целевая функция непрерывна и множество допустимых решений является компактом и непустым. Рассмотрение классических методов оптимизации начнем с метода безусловной оптимизации.