Этот метод применяется к классическим задачам оптимизации с ограничениями –равенствами
f(x) > extremum при g(x) = b.
Суть метода множителей Лагранжа заключается в переходе из задачи с ограничениями к задаче безусловной оптимизации введя специальную функцию Лагранжа:
L(x, λ) = f(x) + λ[g(x) – b]
или в скалярной форме
Находим частные производные функции Лагранжа
i = 1, …, n;
i = 1, …, m.
Решением этой системы n + m уравнений являются все стационарные точки задачи. Дальше исследование найденных точек осуществляется так же, как и в случае безусловной оптимизации.
Пример 1.3. Необходимо найти экстремум функции [2]
x1 + x2 = 180.
Построим функцию Лагранжа
Вычислим частные производные функции Лагранжа по x1, x2, λ и приравняем их нулю
Решая эту систему уравнений находим точку – претендента на экстремум
x1 = 91; x2 = 89.
Далее вычислив частные производные второго порядка получим матрицу Гессе
Следовательно, по условию (1.19) эта точка соответствует минимуму целевой функции задачи.