Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
5.1. Модель движения элементов ПРЦ
В этом параграфе рассматривается модель движения одиночного элемента ПРЦ, который представляется в виде материальной точки.
Траектория полета элемента ПРЦ от точки старта до точки падения разбивается на три участка: начальный и конечный участки AB и CD (рис. 1.1), относящиеся к движению в атмосфере, и центральный участок BC, соответствующий свободному полету вне атмосферы. Точки B и C находятся на одной высоте от поверхности Земли, причем точка B означает конец активного участка и начало пассивного участка траектории. Если исключить из рассмотрения несферичность Земли и нецентральность её поля тяготения, то кривая BC представляет собой дугу эллипса, и движение элемента по этой кривой является движением по кеплеровой траектории. Отклонение идеализированной траектории от реальной составляет от 10 до 20 км при дальности полета порядка 10 000 км [1] и при анализе априорной ситуации в первом приближении может не рассматриваться. С целью получения более простой физической картины не учитывается также и собственное вращение Земли. Необходимость такого учета возникает при длительности интервала наблюдения порядка сотен секунд (на широте 60° линейная скорость Земли составляет 0,232 км/с). Сделанные выше предположения, вполне приемлемы при построении моделей траекторий для исследования алгоритмов обнаружения, должны быть исключены, как слишком грубые при обсуждении методов точного сопровождения ПРЦ.
Основные параметры траекторий ПРЦ, рекомендуемых при исследовании преодоления системы ПРО [2] баллистическими объектами (БО), приведены в табл. 1.1. Для более детального изучения были выбраны три типа траекторий: настильная – № 17 (для БО типа «Минитмен»), нормальная – № 18 (для БО типа «Минитмен») и навесная – № 9 (для типа БО «Титан»). Вид траекторий показан на рис. 5.1. Характер изменения радиальной дальности и скорости, угла места и азимута представлены на рис. 5.2 для различных углов δ и ϰ. Графики построены на основе расчетов, выполненных программой «Облако» [3].
Рис. 5.1. Типовые траектории БО
Предварительный анализ графиков временных зависимостей наклонной дальности d(t), радиальной скорости Vp(t), угла места ε(t) и азимута β(t) показывает, что в зоне обнаружения они довольно близки к линейным. Для более точной оценки линейности проведена аппроксимация этих зависимостей полиномиальными моделями
(5.1)
где α1(t) = d(t); α2(t) = Vp(t); α3(t) = ε(t); α4(t) = β(t); α5(t) = x(t), α6(t) = y(t); α7(t) = z(t); 
– соответствующий коэффициент полинома, 
.
Таблица 5.1
Параметры типовых траекторий БО
Тип БО
Номер траектории
Конец акт. участка
Начало атм. участка
Общие полетные данные
V, м/с
H, км
Ѳ, гр.
L, км
V, м/с
H, км
–Ѳ, гр.
tпасс.
tполн.
Минит-мен
17
6960
146
10°
477
7047
7962
18
6578
214
20°
422
6770
8082
Титан
8
6600
290
20°
672
9024
9
6700
525
40°
680
7290
9079
10
7332
8°
489
8,5°
Параметры X, Y и Z соответствуют координатам элемента ПРЦ в декартовой системе, связанной с РЛС. Координата Z – местная вертикаль, ZOX находится в плоскости траектории. Вектор оценки коэффициентов модели 
находится методом наименьших квадратов [4]:
(5.2)
где 
– транспонированная матрица дифференциальных операторов; 
– вектор измерений по соответствующей координате.
а б
в г
Рис. 5.2. Зависимости изменения от времени наблюдения наклонной дальности (а), угла места (б), радиальной скорости (в), азимута (г)
Точность полиномиальной модели определяется по среднему 
и среднеквадратичному δS отклонениям местоположения расчетной точки падения от действительной. На рис. 5.3 и 5.4 приведены графики зависимостей соответственно среднего и среднеквадратичного отклонений в функции от величины интервала наблюдения, на котором производится аппроксимация траекторий. Начало наблюдения отстоит от РЛС на расстоянии 2000 км. Численные данные получены с помощью программы «Аппроксимация», в которой используется алгоритм (5.2) для α1(t) = d(t), α2(t) = ε(t).
Рис. 5.3. Зависимости изменения от времени наблюдения модуля среднего отклонения от истинной точки падения при аппроксимации траектории № 18
Рис. 5.4. Зависимости среднеквадратичного отклонения от истинной точки падения при аппроксимации траектории № 18
Если время наблюдения tн ≤ 100 с, то среднее отклонение для модели первого порядка больше 1000 км, для модели второго порядка меньше 200 км, для модели третьего порядка – меньше 25 км. Увеличение времени наблюдения от 20 с до 100 с практически не сказывается на уменьшении 
моделей второго и третьего порядка. Величина δS существенно зависит от порядка и модели углов δ и ϰ.
Для рассматриваемых ситуаций наиболее точной является полиномиальная модель третьего порядка, систематическая ошибка которой не превышает 50 км при tн ≤ 20 с, среднеквадратичная ошибка меньше 7,5 км при 20 с ≤ tн ≤ 100 с. Значения коэффициентов полиномиальных моделей всех трех порядков для траектории № 18 при различных углах δ и ϰ и времени наблюдения приведены в табл. 5.2 для α1(t) = x(t); α2(t) = y(t) в декартовой системе координат и в табл. 5.4 для α1(t) = d(t); α2(t) = ε(t) в полярной системе координат.
Таблица 5.2
Коэффициенты декартовых полиномиальных моделей
движения элементов ПРЦ
Угол выноса
Время наблюдения
Порядок полинома
x(t), км
y(t), км
x0, 103 км
x1, км/с
x2, 10–3, км/с2
x3, 10–6, км/с3
y0,
y1, км/с
y2, 10–3, км/с2
y3, 10–6, км/с3
0,0785
12,5
1
2
0,022
3
0,022
97,5
1
0,009
2
0,393
3
0,390
–10°
12,5
1
2
3
+10°
97,5
1
2
3
Максимальные абсолютные значения коэффициентов для наклонной дальности равны (0 ≤ tн ≤ 100 с):
(5.3)
Таблица 5.3
Коэффициенты полярных полиномиальных моделей
движения элементов ПРЦ
Угол выноса
Время наблюдения
Порядок полинома
d(t), км
ε(t), км
d0, 103 км
d1, км/с
d2, 10–3 км/с2
d3, 10–6 км/с3
ε0
ε1, 10–3 с–1
ε2, 10–6 с–2
ε3, 10–9 с–3
0,0785
12,5
1
2
5,855
3
6,1496
0,95
5,860
97,5
1
2
5,5670
3
–10°
12,5
1
2
3
6,06
+10°
97,5
1
2
4,564
3
3,85
4,531
Третий коэффициент имеет порядок, на шесть единиц меньший, чем первый, в связи с чем на небольших интервалах tн точность аппроксимации при учете только трех членов разложения достаточно высока. Поэтому следует считать представление сложной зависимости d(t) полиномом третьего порядка с постоянными коэффициентами вполне удовлетворительным на интервалах времени до сотен секунд, полиномом второго порядка – до десяти секунд, полиномом первого порядка, т. е. линейной зависимости наклонной дальности от времени наблюдения, на интервалах порядка единиц секунд. Последний случай характерен для этапа раннего обнаружения и оценивания общегрупповых параметров ПРЦ.
Этот вывод справедлив для других радиолокационных параметров элемента ПРЦ – угла места линии визирования и азимута.