Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
5.2. Модель состава и формы ПРЦ
Содержание настоящего параграфа состоит в формализации в виде математической модели имеющейся априорной информации о составе ПРЦ и взаимном расположении её отдельных элементов.
С целью затруднения обнаружения и селекции элементов в ПРЦ противник применяет различные помеховые средства. Они разделяются по типу на активные и пассивные, по условному назначению – на маскирующие и дезинформирующие, по частотному диапазону применения – на радиолокационные, инфракрасные и оптические. Активные помеховые средства (станции активных помех – САП) используются, как правило, на небольших дальностях от РЛС (d < 100 км), когда уже пройден рубеж обнаружения. К пассивным помеховым средствам, предназначенным для маскировки боевых элементов (БЭ), относят ложные элементы (ЛЭ) различных категорий, радиопоглощающие покрытия БЭ, устройства ориентации элементов в пространстве. Наиболее эффективным способом создания пассивных помех является использование множества пассивных ЛЭ, которые по техническому назначению подразделяются на одиночные, групповые и объемно-распределенные.
В комплекс одиночных ЛЭ могут входить [1] обычные уголковые отражатели, например, на базе линзы Люнеберга, легкие ложные элементы (ЛЛЭ) в виде надувных шаров или баллонов из металлизированного пластика, имитирующие внешнюю геометрию маскируемых БЭ, тяжелые ложные элементы (ТЛЭ) – ложные боеголовки (до 0,5 веса БЭ) и обломки корпуса последней ступени, квазитяжелые ЛЭ (КТЛЭ) – ЛЭ с разгонным двигателем и т. п.
Несколько одиночных элементов могут создать групповую ПРЦ. Для предотвращения разлета группа может иметь внутри себя гибкие и жесткие связи в виде тросов, штанг и т. п. Присоединение к БЭ и ЛЭ дополнительных отражателей выравнивает сигнальные характеристики, увеличивая одновременно и их среднюю ЭПР.
Совокупность множества отражающих элементов, относительно близко расположенных к друг другу и занимающих сравнительно большую область пространства, образует объемно-распределённую цель. Типичным представителем такой цели является облако дипольных отражателей. Различие между групповой целью и объемно-распределенной целью состоит в количестве элементов МЭ, приходящихся на один объем разрешения РЛС. Для групповой цели величина МЭ всегда не более единицы, для объемно-распределенной она не меньше единицы и может существенно ее превышать. Таким образом, в зависимости от величины МЭ ПРЦ может быть либо групповой целью, либо пространственно-распределенной. В конце параграфа показано, как можно определить среднее значение 
.
Для выполнения радиолокационных требований, определяемых методами исключения селекции по сигнальным характеристикам, необходимо, чтобы ЛЭ имели максимальное сходство с БЭ. Этого можно достичь путем выбора соответствующей конфигурации и размеров ЛЭ, а также использования специальных покрытий для БЭ. С целью затруднения сопровождения и селекции БЭ на дальнейших этапах некоторые ЛЭ могут быть оснащены источниками активных помех и формирователями облака дипольных отражателей. Для ориентирования САП в пространстве такие ЛЭ снабжаются дополнительными системами, стабилизирующими положение элементов в течение полета. С начала 80-х годов все БЭ имеют стабилизирующие устройства, исключающие кувыркание [1] и, как следствие, выбросы ЭПР при неблагоприятных положениях БЭ относительно РЛС. Состав ПРЦ с БЭ [5] приведен в табл. 5.4.
Таким образом, анализ априорной информации показывает, что на рубеже обнаружения и раннего сопровождения ПРЦ состоит из нескольких десятков одиночных целей с одинаковыми ЭПР от тысячных долей квадратного метра до нескольких квадратных метров [1]. Количество элементов неизменно, априори неизвестно и зависит от организационно-технических требований. Применение маскирующих и заградительных активных помех и дипольных отражателей на этих рубежах нецелесообразно ввиду резкого увеличения вероятности обнаружения ПРЦ.
На основании предварительной информации (спутниковые и тектонические системы наблюдения за стартом МБР, оперативная информация и т. д.) для каждого акта обнаружения можно ввести некоторую априорную функцию распределения числа элементов обнаруживаемой ПРЦ, на основании которой каждому предполагаемому числу M её элементов ставится в соответствие некоторая вероятность P(M). Значение M ограничено сверху максимально возможным числом элементов ПРЦ Mмакс.
Аналитическая форма описания вида распределения вероятности элементов P(M) должна быть достаточно универсальной. С этой целью для аппроксимации априорного распределения в настоящей работе предложено использовать распределение из семейства Пирсона (тип 1) – бета-распределение, зависящее от двух параметров η и ν [6]:
(5.4)
где 
η > –1, ν > –1.
Таблица 5.4
Состав ПРЦ типовых средств нападения
Вид обороняемого объекта
Тип средства нападения
Состав ПРЦ
Всего элементов
Средства стабилизации
Административно-промышленные центры
Минитмен – III
моноблок
1
20
4
+
–
–
25
Минитмен – III
MIRV
3
15
5
+
–
–
23
Укрепленные районы
Минитмен – III
моноблок
1
–
–
–
2
–
3
Минитмен – III
MIRV
3
–
6
–
1
+
10
Минитмен – V
ULMS
1
–
5
+
3
+
9
Было проведено исследование аппроксимирующих свойств этого распределения в широком диапазоне изменений параметров η и ν. Полученные зависимости γ2 = f(γ1), где γ2 – коэффициент эксцесса; γ1 – коэффициент асимметрии, приведены на рис. 5.5. Цифры у точек означают величину второго параметра ν. Согласно [7], нижней границей для распределений любого вида является неравенство 
. Бета-распределение полностью аппроксимирует область между осью абсцисс и этой нижней границей. Другими словами, с точностью до первых четырех моментов оно аппроксимирует здесь любое распределение. В этой области находятся многие известные распределения – гауссово, равномерное и т. д. Верхней границей области для бета-распределения является парабола 
, правая ветвь которой относится к семейству гамма-распределений (тип III по Пирсону, γ2 > 0). Таким образом, при фиксированном значении одного из параметров и увеличении другого бета-распределение асимптотически стремится к одному из гамма-распределений.
Рис. 5.5. Представление бета-распределения в координатах
«коэффициент асимметрии» – «коэффициент эксцесса»
Рис. 5.6. Зависимость коэффициента аппроксимации бета-распределения
от коэффициента эксцесса
Коэффициент аппроксимации Kапп, равный отношению числа аппроксимируемых к общему числу распределений, приведен на рис. 5.6. При γ2 → ∞ он стремится к величине, равной 0,1835. Это означает, что в среднем пятая часть всех возможных распределений с точностью до первых четырех моментов может быть заменена бета-распределением.
Дискретный характер распределения p(M) требует перехода от непрерывного к дискретизированному бета-распределению:
(5.5)
где L = Mмакс.
Широкие аппроксимирующие возможности распределения (5.5) показаны на рис. 5.7 для двух значений L. На них приведены графики зависимостей γ2 = f(γ1) при изменении в широких пределах второго параметра и фиксированном значении первого.
а
б
Рис. 5.7. Представление дискретизированного бета-распределения в координатах «коэффициент асимметрии» – «коэффициент эксцесса» (а – L = 16, б – L = 64)
Там же для сравнения изображены кривые, соответствующие биномиальному распределению
(5.6)
и усеченному биномиальному распределению:
(5.7)
Дискретное распределение, являющееся более простой формой дискретизации непрерывного бета-распределения,
(5.8)
где 
асимптотически стремится к распределению (5.5) при L → ∞. Например, для L > 50 различие между ними в коэффициентах эксцесса и ассиметрии проявляется с третьей значащей цифры. Однако, несмотря на простоту аналитического выражения P3(M) и такие же, как у распределения (5.5), аппроксимирующие способности, от него пришлось отказаться вследствие трудностей моделирования целочисленных случайных величин M при малых L (L < 32). Функция APRW позволяет быстро и точно получить все основные параметры дискретизированного бета-распределения (5.5), не прибегая к численному интегрированию. Тем самым сложность выражения (5.5) не оказывает существенного влияния на точность и скорость расчетов, в то же время моделирование случайных целых чисел производится в соответствии с простым, широко используемым алгоритмом.
При равенстве η = ν распределение (5.5) становится симметричным. В частном случае (η = ν = 1) оно превращается в равномерное распределение. В данной работе оба параметра варьировались в диапазоне 1 ≤ η, ν ≤ 10, позволяющем провести анализ широкого класса априорных функций распределения числа элементов обнаруживаемого объекта. На рис. 5.8 представлены графики дискретизированного бета-распределения для некоторых значений параметров при L = 8. Дискретность условно исключена, для чего значения дискретной функции соединены плавной линией.
а б
в г
Рис. 5.8. Дискретизированное бета-распределение:
а – η = 1; б – η = ν; в – η = 2; г – η = 5
Из всего многообразия априорных распределений для анализа алгоритмов обнаружения и оценивания (см. гл. 6 и 7) выбраны, как наиболее характерные, следующие:
η = 1, ν = 10 – малоэлементная ПРЦ;
η = 1, ν = 1 – ПРЦ с равным распределением числа элементов;
η = 10, ν = 10 – ПРЦ с квазигауссовым распределение числа элементов;
η = 10, ν = 1 – многоэлементная ПРЦ.
Пирсоновские распределения полностью определяются первыми четырьмя моментами. Если обозначить
(5.9)
то оценки параметров непрерывного распределения (5.4) определяются по формулам:
(5.10)
(5.11)
Оценки минимальной 
и максимальной 
границ вычисляются следующим образом:
(5.12)
(5.13)
где 
и DM – математическое ожидание и дисперсия априорного распределения. Соотношения (5.10) – (5.13) были впервые получены в другой форме в [8]. Эти оценки можно использовать при аппроксимации дискретных априорных распределений для 
ЛЭ и другие помеховые средства отделяются в начале пассивного участка [5] (точка B на рис. 5.1). В процессе полета область пространства, занимаемая элементами ПРЦ, увеличивается и ЛЭ распределяются вдоль траектории полета на все бόльшем участке. Формирование ПРЦ проводится при условии поражения селектирующим ядерным взрывом, осуществляемом системой ПВО, не более одного элемента [5]. Это условие означает, что в зоне точного сопровождения (d = 500–100 км) максимальное расстояние между элементами должно быть не менее 7–10 км. Диапазон скоростей отделения составляет 0–150 м/с. На рис. 5.9 показано, как происходит формирование ПРЦ для траектории № 18 (δ = 50 км, ϰ = 0) и скорости выброса 50 м/с в зависимости от времени полета.
На рисунке изображены четыре сечения облака ПРЦ плоскостью базовой траектории. Базовой называется траектория элемента ПРЦ, у которого не изменяется начальная скорость. Время выброса – начало пассивного участка. Координата XM лежит в местной горизонтальной плоскости и направлена в сторону движения ПРЦ, координата ZM является местной вертикалью. Центр координат совпадает с соответствующим положением элемента ПРЦ, летящего по базовой траектории. Двадцать ЛЭ, выброшенных с дискретом 18° к вектору скорости, образуют геометрическое место точек, приближенно являющееся эллипсоидом вращения, ориентация осей которого в местной системе координат в течение полета непрерывно изменяется. Движение отдельных элементов относительно друг друга и центра координат характеризуется сложной зависимостью от времени, но в первом приближении можно принять, что наиболее удаленным от центра ПРЦ являются элементы, которые выбрасывались в направлениях, коллинеарных направлению вектора скорости базовой траектории. Увеличение малой оси эллипса сечения с течением времени замедляется, а большой – убыстряется. Это приводит к его постепенному растягиванию в направлении, примерно совпадающем с направлением вектора скорости базовой траектории.
а б
Рис. 5.9. Формирование ПРЦ:
а – траектория № 18, скорость выброса 50 м/с;
б – траектория № 9, скорость выброса 10 м/с
Такие же выводы дает анализ формирования ПРЦ (рис. 5.9, б) на базовой траектории № 9 (δ = ϰ = 0) при скорости выброса 10 м/с. В случаях, показанных на рис. 5.9, размеры эллипса сечения на расстоянии 2000 км от РЛС равны (в километрах) – 120×30 и 200×100 соответственно.
Если предположить, что направление большой оси совпадает с направлением на РЛС, в составе ПРЦ содержится M элементов и отношение большой оси к интервалу разрешения равно L, то, при условии равномерного распределения элементов внутри объема эллипсоида, их среднее число в i-м объеме разрешения по дальности выражается формулой:
С помощью уравнения (5.14) можно приближенно оценить вероятность Pi наличия одного элемента в i-м объеме разрешения по дальности. Например, при i = L/2, т. е. в объеме разрешения, приходящемся на центральную часть, 
и является максимальным среди других 
. Здесь PL/2 = 3/(2L). Если L > M и L достаточно велико, то попадание в один интервал разрешения двух или более элементов – крайне редкое событие. Этот вывод тем более справедлив для интервалов разрешения, приходящихся на края эллипсоида, где 
P0 = PL–1 = 3/L2. В этом случае, когда все элементы ПРЦ разрешены, она является групповой.
Важность разделения ПРЦ на групповые и пространственно-распределенные следует из существенного различия оптимальных алгоритмов обнаружения и оценивания для этих двух ситуаций (см. гл. 6). Приближенной границей между ними является неравенство M < L, где под L следует понимать общее число разрушения (по дальности, угловым координатам, скорости), приходящихся на обнаруживаемую ПРЦ.