Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Применение метода исключения варьируемого параметра при решении задач диагностирования

Портнягин Н. Н., Пюкке Г. А.,

4.2. Вероятностная модель диагностирования, получаемая на основе метода исключения варьируемого параметра

Применение детерминированной модели диагностирования (2. 3) при решении задачи построения области работоспособных состояний ОД позволяет контролировать появление только одиночных дефектов. При этом необходимым условием проведения процедуры диагностирования является наличие предварительной информации о возникновении в системе только одиночных отказов. При появлении двойных, тройных и т. д. отказов область работоспособности на основе детерминированной модели (2.3) не определена, в силу потери однозначности соответствия между множеством значений диагностируемых параметров g_i и совокупностью диагностических признаков {K_1, K₂ }. Недостатки такого рода при решении многомерных задач характерны для детерминированных моделей. Одним из способов их преодоления является введение в рассмотрение вероятностных характеристик при оценке состояния системы. Действительно, при рассмотрении различных вариантов сочетания вариаций параметров компонент в соотношениях (2. 3) количество попаданий в произвольную точку пространства диагностических признаков {K_1, K₂ } зависит от положения этой точки. Например, для трехизоварной картины (изовары 1, 2, 3; рис. 3. 6, гл. 3 ) при заданных интервалах изменения параметров составляющих компонент g_i, i = 1, 2, 3, попадание в точку 1 можно выполнить посредством одновременной вариации второй и третьей компонент. Для попадания в точку 2 – первой и второй или второй и третьей. Для попадания в точку 3 – первой и второй или второй и третьей или первой и третьей. А для попадания в точку 4 необходима одновременная вариация уже трех компонент. Вариацией параметров трех компонент также можно переместиться в точки 1, 2, 3. 

То есть каждой точке плоскости К₁ , К₂ может быть поставлено в соответствие счетное множество векторов параметров компонент, а в поле пространства диагностирования имеет место статистическая устойчивость распределения событий. Для количественной оценки полученной закономерности необходимо посредством модели (2. 3) вычислить количество векторов параметров компонент, принадлежащих каждой точке пространства диагностирования {K_1, K₂ } (рассматриваются все векторы с различной кратностью вариаций). Введем множество конечного числа событий А, перечисляющее все возможные состояния системы N = 2^m . Это множество состоит из конечного числа подмножеств А_j , j = 0,1,2,….,m; каждое из которых включает в себя состояния нулевых, одиночных, двойных и т. д., m – кратных дефектов. Их количество определяется комбинаторно вышеописанным способом (С_m⁰ – количество нулевых; C_m¹ – одиночных; С_m² – двойных и т. д., С_m^m – m – кратных дефектов). Под дефектом будем понимать выход параметра компоненты g_i за установленные пределы [g_i min , g_i max], и нарушение одного или нескольких соотношений  наблюдаемых признаков K₁, K₂. Для каждой точки пространства наблюдаемых диагностических признаков {K_1, K₂ } введем счетное множество событий В_к,определяющих количество реализаций вектора параметров компонент, приводящие в данную точку). Введением множества В_к формализуется оценка многозначности функции состояния ОД при его наблюдении в пространстве диагностирования. Среди совокупности реализаций, принадлежащих данной точке, отберем подмножества  векторов соответствующих различной кратности вариаций. Тогда для каждой точки пространства диагностических признаков можно определить условную вероятность P(A_j | B_k) наступления события А_j при условии нахождения системы в выбранной точке. Т. к. множество В_к состоит из непересекающихся элементов, то справедлива формула полной вероятности:  P(A_j) = P(A_j ¦B_k),  где P(A_j) –  вероятность  наступления  j – го события, удовлетворяющая следующим условиям 0 ≤ P(A_j) ≤ 1, P(A) =  P(A_j). Таким образом, точкам плоскостиК₁ , К₂ может быть поставлено в соответствие конечное множество векторов состояний ОД, в которых он может находиться, и вычислены условные вероятности P₀(A₀| B_k); P₁(A₁| B_k); P₂(A₂| B_k);………..; P_m(A_m| B_k);  возникновения нулевых, одиночных, двойных, и т. д., m – кратных отклонений параметров компонент в каждой точке пространства диагностирования {K₁ , K₂}. Это дает возможность каждой точке плоскости K₁ , K₂ поставить в соответствие вектор вероятностей всех 2^m возможных состояний: Р = [Р₀ Р₁(1) P₁(2) ……..P₁(m) P₂(1) P₂(2)……..P₂(C_m²)……..P_m(1)P_m(2)……..P_m(C_m^m)] (индекс в круглых скобках обозначает номер состояния в подмножестве данной кратности; нижний индекс обозначает кратность вариации). Количество попаданий в любую фиксированную точку пространства {K₁ , K₂} при всех сочетаниях вариаций параметрами различных компонент ОД образуют полную группу событий. Для вектора вероятностей состояний можно написать: P₀ +P_i^N = 1,  где R = C_mⁱ. Решается задача распределения в пространстве диагностирования вероятностей отказов различной кратности j, (j = 0,1,2,….,m) и определении положений их максимумов. Как уже отмечалось, решить аналитически такую задачу не представляется возможным. При решении таких сложных задач, как правило, применяют метод статистических испытаний. Для его реализации можно использовать современные среды прикладного программирования, такие какMATLAB, VISUAL BASIC, EXEL и др. Метод позволяет оценить все функции условных вероятностей и решить основные задачи диагностирования. Действительно, по максимуму условной вероятности можно определить наиболее вероятные состояния ОД, если в каждой точке плоскости К₁, К₂ известны значения компонент вектора условных вероятностей. Как было отмечено выше, в пространстве диагностирования, при различных сочетаниях вариаций параметров компонент g_i наблюдается статистическая устойчивость распределения вероятностей конечных положений точки состояния системы. Такая закономерность обусловлена наложением в каждой точке плоскости К₁, К₂ на точки данной кратности вариации точек вариации более высокого порядка кратности. Это дает возможность построения в пространстве диагностирования совокупности областей работоспособности ОД с заданным порогом вероятности.

.

Для построения функции вероятности работоспособности ОД всю совокупность точек плоскости К₁, К₂ разделяем на два непересекающихся подмножества работоспособных и неработоспособных состояний. Для выполнения процедуры деления используются условия работоспособности g_imin ≥g_i ≥ g_i max , i = 1, m и исходные соотношения для диагностических признаков: К₁ = К₁ (g₁, g₂,…..,g_m); K₂ = K₂ (g₁, g₂,…..,g_m). Задается шаг изменения параметров компонент Δg_i по двум направлениям Δg_i⁺ и Δg_i^- каждой изовары от состояния равновесия g_i ном , и вычисляются условные вероятности P(A_j) = P(A_j¦B_k), только тех точек, которые удовлетворяют системе неравенств: g_i min ≥g_i ≥ g_i max , i = 1, m.. Тогда в каждой точке области работоспособности будут накапливаться условные вероятности, соответствующие различным сочетаниям вариаций g_i и удовлетворяющие системе g_i min ≥g_i ≥ g_i max.  При машинной обработке информации выполняется вариация величинами всех m параметров составляющих компонент. Программа производит регистрацию общего количества вариаций различной кратности, приводящих в выбранную точку плоскости К₁, К₂ . Процедура выполняется для каждой точки пространства диагностических признаков. При таких условиях каждая кратность вариации будет иметь свой максимум вероятности в определенной подгруппе точек плоскости К₁, К₂. Расположение максимумов различной кратности вариаций на плоскости К₁, К₂ зависит от топологии изоварной картины, которая в свою очередь зависит от топологии ОД и варианта картины, выбранного по оптимизационным критериям (чувствительности, равномерности чувствительности, эквидистантности). Устойчивую закономерность распределения максимумов можно объяснить отсутствием в удаленных от центра изоварной картины точках вариаций низкой кратности. Вместе с тем вариации высокой кратности приводят к точкам на любых расстояниях от центра (в том числе и в центре). Поэтому на определенных расстояниях от центра будут образовываться зоны устойчивых максимумов вариаций различной кратности.

На рис. 4.3а приводится программа построения функции вероятности работоспособных состояний ОД “Nakoplenie”, предназначенная для оценки вероятности работоспособных состояний устройств судовых ЭСА и построения поверхности вероятностей в пространстве диагностических признаков, которая может быть использована при диагностировании сложной судовой аппаратуры.

Программа “Nakoplenie” выполняет следующие функции: накопление в численной форме функции вероятности работоспособных состояний с использованием метода Монте – Карло при заданной модели и выбранном пространстве наблюдаемых диагностических признаков; отображение в виде поверхности, полученной функции вероятности работоспособных состояний.

Далее рассмотрим построение апостериорной модели деградации системы с использованием изоварной модели диагностирования.