Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

5.2. Задачи преобразований комплексного чертежа

Все метрические и позиционные задачи можно свести к одной из следующих четырех задач.

Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы.

Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П2 новой плоскостью П4 П1 и параллельной прямой АВ.

Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.1), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа:

.

а                                                                          б

Рис. 5.1. Изображение преобразования прямой общего положения в прямую положения уровня: а - в пространстве; б – на комплексном чертеже

1) провести новую ось проекций х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую АВ, ось х14 = А1В1;

2) выбрать на прямой две точки А(А1А2) и В(В1В2);

3) построить проекции точек А и В на плоскости П4.

Прямая А4В4 является проекцией прямой АВ на плоскость П4. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П14 является фронталью.
Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П4 в истинную величину, т.е. | А4В4 | = | АB |, a- величина угла наклона прямой АВ к плоскости П1.

3адача 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия общего положения АВ стала проецирующей.

.

Рис. 5.2 Преобразование прямой АВ общего положения в горизонтально-проецирующую.

Для решения задачи заменить плоскость П2 исходной системы П21 плоскостью П4 // А1В1, при этом плоскость П4 будет перпендикулярной П1 так как АВ // П4 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П14.

Построения на комплексном чертеже:

1) провести новую ось проекций х14 // А1В1;

2) построить проекции точек А и В на плоскости П4, взяв координаты точек из плоскости П2;

3) заменить плоскость П1 на новую П5, которая будет  П4 и А4В4. Для этого нужно провести новую ось проекций х4,5.

Так как расстояния точек А и В до плоскости П4 одинаковы, то проекции их на плоскости П5 совпадут, А5 ≡ В5, прямая АВ (А5В5) в новой системе плоскостей проекций заняла проецирующее положение и стала горизонтально проецирующей. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П5 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из «старых» плоскостей проекций, и, следовательно, не сможет образовать ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.

Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Прямую общего положения следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 5.2).

Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей (рис. 5.3).

Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2 исходной системы П21 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости  (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей.

Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.

.

Рис. 5.3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 5.3) путем преобразования горизонтали h(h1,h2), принадлежащей плоскости , во фронтально- проецирующую прямую. В новой системе плоскостей проекций П14 плоскость является фронтально проецирующей (4), и поэтому ее проекция на П4 вырождается в прямую линию 44, А4, В4).

α – величина угла наклона плоскости  к плоскости П1.

Задача №4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) новой системы.

.

Рис. 5.4. Решение 4-й задачи на преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.

Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.

Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3 на преобразование комплексного чертежа, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 5.4 показано преобразование плоскости Δ(АВС) в горизонтальную плоскость уровня.

Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 5.5). Заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г (ΔАВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П2. В новой системе плоскостей проекций П24 плоскость Г (АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня.

.

Рис. 5.5. Решение четвертой задачи на преобразование комплексного чертежа

Построения на комплексном чертеже:

1) проводим новую ось проекций х24 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х24 обусловливается тем, что П4 параллельна Г (АВС). Ось х24 совпадает с прямой (А2С2), если плос- кость П4 совмещается с плоскостью Г (АВС);

2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П4;

3) треугольник А4В4С4 является проекцией треугольника АВС на плоскость П4.

Примечание. Так как плоскость треугольника АВС параллельна П4, значит отображение этого треугольника на П4 будет в натуральную величину.

В данном конспекте лекций рассматривается только способ замены плоскостей проекций.

Вопросы для самоконтроля

1. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы прямую общего положения преобразовать в: а) прямую уровня; б) проецирующую прямую.

2. Как нужно располагать дополнительные плоскости проекций, чтобы плоскость общего положения преобразовать в: а) проецирующую; б) плоскость уровня?

3. Какие основные метрические задачи можно решать с помощью дополнительного проецирования?

4. Какие метрические задачи относят к основным?


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074