Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

6.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами

Искомое расстояние во всех задачах этой группы измеряется длиной отрезка, заключенного между заданными геометрическими фигурами и перпендикулярного к одной из них или одновременно к обеим. Этот отрезок проецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, которая будет перпендикулярна одной или обеим геометрическим фигурам, между которыми определяется расстояние. Алгоритм решения задач этой группы будет следующим:

1. Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные геометрические фигуры (или одну из них) в положение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций.

2. Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость.
Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует учитывать требования к компактности чертежа, четкость и возможную простоту графических операций.

Задача 1 . Определение расстояния от точки М до прямой АВ общего положения (рис. 6.1). Искомое расстояние измеряется длиной отрезка /МN/ перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ. Отрезок [МN] спроецируется в конгруэнтный ему отрезок на плоскость проекций, перпендикулярную прямой АВ. Составляем алгоритм решения:

1. Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций.

2. Построить проекцию отрезка [МN] на плоскость П5 АВ, длина которого М5N5 определяет искомое расстояние.

.

Рис. 6.1. Определение расстояния от точки до прямой

Построение. Для преобразования прямой АВ общего положения в проецирующую выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале прямая АВ преобразована в линию уровня, затем линия уровня преобразована в проецирующую прямую. Построены проекций М4 и М5 точки М в системе П45.

Отрезок [М5N5] является искомым: [М5N5] [МN] и /М5N5/ = /МN/. На рис. 6.1 показано построение проекций [М4N4], [М1N1] и [М2М2] отрезка [МN] обратным преобразованием.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b.

Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций. Вначале прямые a и b необходимо сделать прямыми уровня. Для этого П4 необходимо расположить параллельно a1 и b1. Затем названные прямые необходимо расположить перпендикулярно П5. Расстояние между а5 и b5 будет натуральной величиной между параллельными прямыми a и b (рис. 6.2).

Задача 3. Определение расстояния от точки до плоскости.

Решение задачи приведено на рис. 6.3.

Для определения расстояния от точки М до плоскости треугольника Δ АВС необходимо плоскость треугольника общего положения ΔАВС преобразовать в плоскость проецирующую. Для этого нужно произвести замену плоскости проекций П2 на П4 перпендикулярно h1.

.

Рис. 6.2. Определение расстояния между параллельными прямыми

Плоскость ΔАВС преобразуется в линию С4А4В4. На эту же плоскость П4 спроецируется точка М (М4). Перпендикуляр из М4 на линию С4А4В4 будет натуральной величиной расстояния от точки М до плоскости Δ АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П1 и П2 по соответствующим линиям связи, расстояния от точки М до плоскости Δ АВС. Проекции перпендикуляра переносятся в плоскости проекций П1 и П2 по соответствующим линиям связи.

Примечания: 1) Проекция перпендикуляра М1N1 в П1 располагается параллельно П4, потому что в плоскости П4 имеется ее натуральная величина.

2) Задачи 1- 3 можно также решать по следующей схеме: вначале определить метрически искаженные проекции искомого отрезка, а затем способом прямоугольного треугольника определить его действительную величину.

.

Рис. 6.3. Определение расстояния от точки до плоскости


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074