Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
7.1. Понятия и определения
В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующейся на таких основных элементарных геометрических понятиях, как точка и множество. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности:
Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.
Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже закон перемещения линии целесообразно задавать графически в виде совокупности линий и указаний о характере перемещения линии. Эти указания могут быть заданы графически, в частности с помощью направляющей поверхности. В процессе образования поверхностей линия может оставаться неизменной или менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность − кинематической. Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.
На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.
Подвижная линия называется образующей, неподвижные линии и поверхность – направляющими.
Примером такого способа образования могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» профиля резца.
Режущие кромки являются неотъемлемой частью исполнительных механизмов многих строительных и дорожных машин, применяемых не только для разработки и перемещения грунта (бульдозеры, грейдеры и т. п.), но и рытье траншей, котлованов, проходка траншей, профилирование откосов и многое другое.
Но режущие кромки во многих случаях начинают уступать место производящей поверхности, с которой связано развитие прогрессивных производительных процессов обработки металлов давлением и обкаткой. Геометрическая сущность этих процессов – метод огибания.
Рассмотрим некоторые кривые поверхности.
Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:
1. Аналитический - при помощи уравнений;
2. При помощи каркаса;
3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.
.
Рис. 7.1. Пример поверхности, заданной аналитически
Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. На рис. 7.1 приведен пример поверхности, заданной аналитически (системой алгебраических уравнений).
При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности.
Каркас поверхности
Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже может служить каркас поверхности.
Каркасом поверхности принято называть упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности.
В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы называют точечными или линейными. Линейным каркасом называется множество таких линий, которые имеют единый закон образования и связаны между собой определенной зависимостью. Условия связи между линиями каркаса называются зависимостью каркаса. Эта зависимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, которая называется параметром каркаса. Если параметр линейного каркаса является непрерывной функцией, то каркас называется непрерывным, а если параметр − прерывная функция, то каркас называется дискретным.
На рис. 7.2 приведен пример каркаса поверхности, состоящей из двух ортогонально расположенных семейств линий а1, а2, а3,…, аn, b1, b2, b3,…bn.
.
Рис. 7.2. Пример линейного каркаса поверхности
Определитель поверхности
Кинематический способ образования поверхности можно представить как множество положений движущейся линии или поверхности.
Этот способ дает возможность сформулировать понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.
Определитель поверхности состоит из двух частей:
Геометрической части - совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.
Алгоритмической части - алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.
Чтобы найти определитель поверхности, следует исходить из кинематического способа образования поверхности.
Для того чтобы построить чертеж поверхности, необходимо предварительно выявить ее определитель. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший.
Поверхность на чертеже задают проекциями геометрической части ее определителя. Определитель кривой поверхности Ф может быть записан в символической форме: Ф(Г)[А], где (Г) - геометрическая часть, [А] - алгоритмическая часть. Для каждой поверхности обе части определителя имеют вполне конкретное содержание.
Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если относительно любой точки пространства, заданной на чертеже, можно однозначно решить вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Построение проекций любых точек и линий, принадлежащих поверхности, а также второй их проекции, если одна задана, выполняется на основании ее определителя.
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности.
Рассмотрим примеры выявления определителя для некоторых простейших поверхностей:
Через три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость (
на рис. 7.3, а). Точки А, В и С составляют геометрическую часть определителя плоскости.
Вторая часть определителя, т. е. алгоритм построения в плоскости (А, В, С) любых линий и точек, выражается рассмотренными ранее условиями принадлежности прямой и точки плоскости.
На чертеже (рис. 7.3, б) плоскость задана проекциями геометрической части своего определителя: А(А1А2), В(В1В2), С(С1С2).
Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l 
i вокруг оси i (рис. 7.4, а).
Геометрическая часть определителя поверхности состоит из образующей l и оси i. Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей линии l вокруг оси i.
Определитель цилиндрической поверхности вращения имеет вид Ф(l i, i) [А]. На чертеже (рис. 7.4, б) цилиндр вращения задан проекциями геометрической части своего определителя.
Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l, пересекающей ось вращения i под некоторым углом (рис. 7.5, а). Алгоритмическая часть определителя состоит из словесного указания о том, что поверхность образуется вращением образующей l вокруг оси i.
.
а б
Рис.7.3. Примеры определителя: а − алгоритмическая часть; б − геометрическая часть
Определитель конической поверхности вращения имеет вид Ф(l
i)[A].
На чертеже (рис. 7.5, б) конус вращения задан проекциями геометрической части его определителя:
l(l1l2) 
i(i1i2}
В указанных примерах определитель поверхности выявляется путем анализа способов ее образования. Рассмотрим пример выявления определителя поверхности путем анализа ее основных свойств. Возьмем, например, сферу. Сферой называется поверхность, образованная множеством точек пространства, находящихся на расстоянии | r | от данной точки O (рис. 7.6, а). Геометрическая часть определителя сферы состоит из точки O (центра сферы) и точки М, принадлежащей ее поверхности. Алгоритм построения любой точки сферы заключается в проведении через точку О произвольной прямой и откладывания на ней от точки О отрезка | OM' = | ОМ | = | r |. Определитель сферы имеет вид Ф(О, М) [А].
.
а б
Рис. 7.4. Определитель цилиндрической поверхности: а – поверхность образована вращением прямой l i вокруг оси i; б - цилиндр вращения задан проекциями геометрической части своего определителя
На рис. 7.6, б (справа) сфера задана проекциями точек О(O1O2) и М(М1М2), которые составляют геометрическую часть ее определителя, и показано построение произвольной точки Мn(Мn1 Мn2)сферы.
При чтении чертежа немаловажную роль играет его наглядность. Задание поверхности проекциями геометрической части ее определителя не обеспечивает наглядности изображений. Поэтому для придания чертежу поверхности большей наглядности и выразительности прибегают к построению очерков ее проекций или проекций достаточно плотного каркаса ее образующих.
При проецировании поверхности на какую-либо плоскость проекций часть проецирующих лучей касается ее, образуя проецирующую поверхность. Точки касания при этом образуют линию видимого контура поверхности относительно этой плоскости проекций (рис. 7.7). Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура.
Линия видимого контура поверхности разделяет ее на две части − видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую. Никакая точка поверхности не может спроецироваться за пределы очерка.
.
а б
Рис. 7.5. Изображение определителя конической поверхности: а - алгоритмическая часть; б - геометрическая часть
На чертежах (рис. 7.8, а, в) конус вращения и сфера заданы проекциями геометрической части своего определителя, а на чертежах (рис. 7.8, б, г) для тех же поверхностей построены очерки их проекций. Последние, безусловно, обладают большей наглядностью и выразительностью.
Кривые поверхности разделяются на линейчатые и нелинейчатые, закономерные и незакономерные. Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии, в противном случае − нелинейчатой.
Если поверхность может быть задана каким-либо уравнением, она называется закономерной, в противном случае − незакономерной, или графической (задается только чертежом).
Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическое уравнение n-й степени (в декартовых координатах) задает алгебраическую поверхность n-го порядка (трансцендентные поверхности порядка не имеют). Алгебраическая поверхность n-го порядка пересекается плоскостью по кривой n-го порядка, а с прямой линией − в n точках.
.
Рис. 7.6. Изображение определителя сферы: а – алгоритмическая часть; б – геометрическая часть
Плоскость, имеющую уравнение первой степени (с произвольной плоскостью пересекается по прямой линии, а с прямой − в одной точке), можно рассматривать как поверхность первого порядка. Примерами кривых поверхностей второго порядка могут служить поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг одной из своих осей.
Поверхности второго порядка пересекаются с произвольной плоскостью по кривым второго порядка, а с прямой − в двух точках. Примером поверхности четвертого порядка может служить тор (см. поверхности вращения).
.
Рис. 7.7. Образование проекций сферы
.
Рис. 7.8. а, в − проекции геометрической части определителей конуса и сферы; б, г − очерки проекций конуса и сферы
Определитель может быть положен в основу классификации поверхностей. К одному и тому же классу относятся поверхности, имеющие одинаковую структуру определителя.
Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы:
1. Линейчатые поверхности:
а) развертывающиеся;
б) неразвертывающиеся;
в) винтовые.
2. Поверхности вращения.