Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
3.11 Интегрирование дифференциальных уравнений установившегося неравномерного движения в открытых призматических руслах
Для построения кривой свободной поверхности в призматических руслах необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (3.23).
К настоящему времени имеется несколько методов интегрирования этого уравнения: метод Бресса, применяемый для русел прямоугольного сечения с очень большой шириной [6]; графический метод; метод последовательских приближений; метод Бахметьева Б.А. и др. Однако наибольшее применение нашел способ Б.А.Бахметьева, который применим для большинства русел правильного поперечного сечения, встречающихся в практике.
Б.А. Бахметьев предложил для интегрирования уравнения (3.23) в случае i > 0 использовать показательную зависимость
(3.24)
где x – называется гидравлическим показателем русла;
h – действительная глубина в рассматриваемом поперечном сечении;
h0 – нормальная глубина, определяемая по формуле Шези;
К, К0 – модули расхода, отвечающие этим глубинам.
Логарифмируя (3.24), получим
(3.25)
Модуль расхода определен точно для некоторых типов русел: весьма узкие прямоугольные, х = 2,0; широкие прямоугольные, х = 3,4; узкие параболические, х = 3,7; широкие параболические, х = 4,4; треугольные, х = 5,4.
Для трапецеидального русла
(3.26)
где b – ширина русла по дну;
m – коэффициент откоса; 
Рассмотрим интегрирование уравнения (3.23) по методу Б.А.Бахметьева
1. Уклон дна i > О
(3.27)
Введем дополнительное обозначение
(3.28)
где h/h0 – относительная глубина, откуда h = ηh0 или
Учитывая принятое обозначение (3.28), уравнение (3.27) запишется
(3.29)
Разделяя переменные, получим
(3.30)
или
Прежде чем проинтегрировать уравнение (3.30), рассмотрим продольный разрез потока (рисунок 3.14) и выделим часть потока сечениями 1–1 и 2–2. Обозначим:
l – длина кривой свободной поверхности между сечениями;
h1, h2 – глубина потока в верхнем и нижнем сечениях потока;
h0 – нормальная глубина.
Дифференциальное уравнение было составлено для произвольной элементарной части потока длиной dl. Интегрируя уравнение (3.30) от сечения 1–1 до сечения 2–2, получим
(3.31)
Считая, что для данного русла х = const; подынтегральную функцию в уравнении (3.31) следует рассматривать как функцию только η. Поэтому можно записать
(3.32)
Окончательно уравнение кривой свободной поверхности запишется
(3.33)
В этом уравнении
– относительные глубины в соответствующих сечениях;
j1, j2 – коэффициент изменения кинетической энергии;
jc0,5(j1+j2) – вычисляются по зависимости соответствен но для глубин h1 и h2.
Величины 
были вычислены путем разложения подынтегральной функции (3.32) в ряд для различных значений η и x. Результаты вычислений сведены в таблицу [6], [16].
Пользуясь уравнением (3.33), можно решить следующие задачи:
1) известна глубина h1 (или h2), требуется определить глубину h2 (или h1) в сечении потока, расположенном на заданном расстоянии l от сечения с глубиной h1 (или h2);
2) известны h1 и h2, требуется определить расстояние l между сечениями с заданными глубинами;
3) известны глубины h1 и h2, требуется построить кривую свободной поверхности АВ.
Рисунок 3.14 Продольный разрез потока
2. Обратный уклон дна i < 0.
В этом случае уравнение неравномерного движения для построения кривой свободной поверхности запишется
(3.34)
В случае i < 0 действительные элементы потока h, К мы заменяем элементами фиктивного равномерного потока 
и 
.
В уравнении (3.34) jc – среднее значение, определяемое по формуле
где 
– абсолютная величина уклона;
– относительная глубина, 
Функции 
определяются по таблице [5], [16].
3. Уклон дна i = 0.
Уравнение неравномерного движения для построения кривой свободной поверхности в случае i = 0 (рисунок 3.15) имеет вид
(3.35)
где hкр – критическая глубина;
iкр – критический уклон;
– относительная глубина, 
при i < 0 и i = 0
Рисунок 3.15 Кривые свободной поверхности