Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Теоретические основы водного транспорта леса

Корпачев В. П.,

6.4.1 Уравнение волнового профиля

Основные параметры линейных волн могут быть получены из выражения потенциала скорости (6.16) и уравнения Лагранжа (6.1). В формуле потенциала скорости, записанного в виде (6.16), для случая глубокой воды, т.е. при 

Величина 

Очевидно, что предположение о неограниченном возрастании с глубиной значения , а следовательно, и потенциала скоростей не имеет физического смысла. Поэтому постоянную можно принять равной нулю. Тогда, принимая значение c₁ = c, из уравнения (6.16) получим

  (6.17)

т.е. потенциал скорости экспоненциально убывает с глубиной.

Уравнение волнового профиля определится из условий равенства давлений P = P_ат для точек свободной поверхности. В этом случае уравнение (6.1) примет вид (при z = x)

  (6.18)

где x – координата точек линии свободной поверхности.

Уравнение волнового профиля получим из уравнения (6.4), подставляя в него значение производной потенциала скорости,

  (6.19)

С учетом граничных условий Z = Z₀ = 0 и x = x₀, получим

Подставляя это выражение в (6.18), получим

или с учетом значения c = gh/2σ, получим

  (6.20)

Профиль волны имеет форму косинусоиды с амплитудой h/2. С изменением х или t значение cos(k x – σ t) изменяется в пределах от 1 до-1 и xпоследовательно принимает все значения x = h/2 (вершины волны) до x = - h/2 (подошвы волны) (рисунок 6.3).

При t =const значения cos(k x – σ t) одинаковы для точек профиля волны, абсциссы x которых разнятся на , где n – целое число. Разность абсцисс точек при n = 1 равна длине волны λ. Поэтому

Для любого определенного x =const значение cos(k x – σ t) повторяются в моменты, для которых t разнятся на величину , где n – целое число. Промежуток времени между такими моментами при n = 1 равен периоду волны τ. Поэтому

где  σ – угловая скорость.

Волна, сохраняя свою форму, перемещается вдоль положительной оси x с постоянной скоростью c

  (6.21)

или при g = 9,8 м/с,  м/с.

Период волны

  (6.22)

Из формулы (6.21) и (6.22) видно, что c и τ зависят только от длины волны.

Рисунок 6.3 Форма профиля волны при х = 0, t = 0, построенного по формуле (6.19)