Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Теоретические основы водного транспорта леса

Корпачев В. П.,

8.6.1 Основные положения π – теоремы

Развивая теорию анализа размерностей Релея, Букенгем [91], [94] установил правило для нахождения безразмерных комплексов, определяющее любой конкретный физический процесс. Согласно π – теоремы, общую функциональную зависимость, связывающую между собой n переменных величин при N основных единиц их измерения, можно представить в виде зависимости между (n – N) безразмерными комплексами этих величин, а при наличии подобия – в виде связи (n – N) критериями подобия.

Предположим, что функциональная зависимость исследуемого явления известна, и она устанавливает связь n числа размерных физических величин a₁, a₂, a₃,… a_n (это может быть скорость, плотность, вязкость и т.д.), т.е.

φ = (a₁, a₂, a₃,… a_n) = 0. (8.46)

Согласно π – теореме, если величины, входящие в зависимость, могут быть выражены через N независимых размерных единиц, то их можно сгруппировать в (n – N) безразмерных комплексов [84 – 98]

φ₁(π₁, π ₂, π ₃,… π _n-N) = 0,  (8.47)

причем число безразмерных комплексов всегда меньше числа исходных величин на (n – N).

Из уравнения (8.47) можно получить значение любого числа в виде

π₁ = f (π₁, π ₂, π ₃,… π _n-N).  (8.48)

В задачах механики жидкости используют три безразмерных единицы – массу, длину, время (М, L, Т ), т.е. N = 3. В этом случае число безразмерных комплексов можно получить выражая числа в виде:

  (8.49)

Или для любого числа π

,  (8.50)

где  a_i – каждая последующая после a₃ физическая величина от a₄ до a_n; i = 4; 5...

В любом числе π будет N + 1 переменное и только одно переменное меняется от числа к числу. В каждом числе имеется три неизвестных показателя x, y, z. Рассматривая три независимые размерные величины (М, L, Т), получим три независимых уравнения; одновременное решение этих трех уравнений дает численное значение для трех показателей.

Для любого физического уравнения, в том числе и для уравнений (8.49), размерность левой и правой частей уравнений должна быть одинаковой. Поэтому, представив число π в виде произведения независимых размерных величин в нулевых степенях, а правую часть уравнения (8.50) – в виде степенного одночлена, получим

  (8.51)

откуда

  (8.52)

Условие однородности требует равенства показателей степени, т.е.

  (8.53)

В этих уравнениях γ, β, α – числа, определяемые на основании однородности размерности.

Система уравнений (8.53) решается однозначно относительно показателей степени x, y, z. Решая последовательно каждую строку уравнений (8.49), определяют все безразмерные комплексы π₁, π ₂, π ₃,… π _n-N

π – теорема находит применение при исследовании многих задач гидравлики и лесосплава, теоретическое решение которых дает возможность установить только лишь качественную сторону пробле мы.

Для практического использования теоретических зависимостей необходимо введение корректирующих коэффициентов, значения ко торых находятся экспериментальным путем.