Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Автоматизированное проектирование технических систем: Учебное пособие.

Бельков В. Н., Ланшаков В. Л.,

3.1.4. Двутавровая балка

Стальная призматическая балка с горизонтальной осью симметрии проектируется на сосредоточенную нагрузку.

Балка должна иметь минимальный вес при ограничениях на изгибающие ограничения в полках и на местную потерю устойчивости полок и стенки. Из четырёх переменных, определяющих форму поперечного сечения, в качестве переменных проектирования выбираются переменные высота h и ширина t, а толщины стенок (соответственно горизонтальная k₁ и вертикальная k₂) считаются заданными.

Ограничение на напряжение задаётся неравенством:

,

где М_и - изгибающий момент.

Выражение для критического напряжения при выпучивании σ_Lимеет вид: ,

где Kp - коэффициент выпучивания: для полок Кр = 0,385, для стенки Кр = 3,62.

Ограничения на местную потерю устойчивости находятся из выражений:

• - для полок: ,
• - для стенки: .

Используя обозначения: , ,

  ,      ,

определить оптимальное решение.

Для решения этой задачи используем метод Куна - Таккера. ЦФ имеет вид:

f(h,t) = ρlS = ρl(2k1k2th)+ ρlht = ρlβht = Aht,

где A=ρlβ.

В данном случае ограничения находятся из выражений:

•(1)       g1(h,t)=α/(ht²)-KpE(t/b)²;

•(2)       g2(h,t)=α/(ht²)-1.54(k2/k1) ²(t/h)²=α/(ht²)-η(t/h)²;

•(3)       g3(h,t)=α/(ht²)-21.7E(t/h)²=α/(ht²)-ν(t/h)².

Функция Лагранжа записывается в виде:

L=Aht-ν1(α/(htІ)- KpE(t/b)І)-ν2(α/(htІ)-η(t/h)І)-ν3(α/(htІ)-ν(t/h)І).

•(4)       ¶L/¶h=At+ ν1α/tІhІ+ ν2(α/(hІtІ)-ηtІ/hі)+ν3(α/(hІtІ)-νtІ/hі);

• (5) ¶L/¶t= Ah+ν1α/tіh+ ν2(α/(htі)-ηt/hІ)+ν3(α/(htі)-νt/hІ).

Проанализируем все возможные сочетания, которые могут иметь место при равенстве нулю одного из сомножителей.

•1.                             ν1>0,ν2>0, ν3>0; g1=0, g2=0, g3=0.

•2.                             ν1=0,ν2>0, ν3>0; g2=0, g3=0.

•3.                             ν1>0,ν2=0, ν3>0; g1=0, g3=0.

•4.                             ν1>0,ν2>0, ν3=0; g1=0, g2=0.

•5.                             ν1=0,ν2=0, ν3>0; g3=0.

•6.                             ν1=0,ν2>0, ν3=0; g2=0.

•7.                             ν1>0,ν2=0, ν3=0; g1=0.

•8.                             ν1=0,ν2=0, ν3=0.

При заданных параметрах нагружения и характеристик материала анализ представленных вариантов позволяет получить оптимальное решение; при этом расчет проводится аналогично задаче 3.1.2.