Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Автоматизированное проектирование технических систем: Учебное пособие.

Бельков В. Н., Ланшаков В. Л.,

3.3.3. Бак с жидкостью

Данная задача, имеющая практическое значение при проектировании топливных баков ракет, формулируется следующим образом.

Минимизировать вес замкнутого тонкостенного бака высотой h, вмещающего по крайней мере объем V жидкости при давлении P, выбрав в качестве переменных проектирования средний радиус R и толщину стенок t. Требуется, чтобы напряжение в окружном направлении не превышало [σ_c], а окружная деформация была меньше ) [ε].

Указанные напряжения и деформации соответственно задаются выражениями: σ_с=PR/t;  ε=PR(2-μ)/(2Et),

где    E=2·10¹¹-модуль Юнга;

μ=0.3- коэффициент Пуассона.

Решение.

Для решения задачи методом Куна - Таккера составляется функция Лагранжа, которая имеет вид:

L(x)=f(x)-Σν_ig_i(x),

где ЦФ является вес бака, определяемый по формуле:

f(x)=(π(R+t/2)²-π(R-t/2)²)hρg;

а ограничения на прочность, деформацию и объем находятся соответственно по формулам:

• 1. g₁(x)=PR/t-σ_c<0;
• 2. g₂(x)=PR(2-μ)/(2Et)-[ε] <0;
• 3. g₃(x)=-hπ(R-t/2)²)+V<0.

После нахождения производных функции L(x) по оптимизируемым параметрам исследуемая система уравнений дополняется следующими выражениями:

• 4. ¶L/¶ R=2hρgt-ν₁P/t-ν₂P(2-μ)/(2Et)+ν₃(2πRh-πth)=0;
• 5. ¶L/¶ t=2hρgR+ν₁PR/t²+ν₂PR(2-μ)/(2Et²)+ν₃(πth/2-πRh)=0.

Как уже было рассмотрено ранее (см. 3.1.3), необходимо рассмотреть следующие соотношения множителей Лагранжа и ограничений:

•1.   ν1>0,ν2>0, ν3>0; g1=0, g2=0, g3=0.

•2.   ν1=0,ν2>0, ν3>0; g2=0, g3=0.

•3.   ν1>0,ν2=0, ν3>0; g1=0, g3=0.

•4.   ν1>0,ν2>0, ν3=0; g1=0, g2=0.

•5.   ν1=0,ν2=0, ν3>0; g3=0.

•6.   ν1=0,ν2>0, ν3=0; g2=0.

•7.   ν1>0,ν2=0, ν3=0; g1=0.

•8.   ν1=0,ν2=0, ν3=0.

Исходные данные позволяют определить такой вариант сочетания ν и g, при котором параметры бака с жидкостью будут оптимальными.