Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Прикладные задачи динамики ледяного покрова
Козин В. М., Жесткая В. Д., Погорелова А. В., Чижиумов С. Д., Джабраилов М. Р., Морозов В. С., Кустов А. Н.,
3.1.3. Математическая модель
Уравнение движения упругой однородной пластины (ледовой поверхности) можно представить в виде
(3.2)
где
- соответственно функции прогиба, нормальной скорости и нормального ускорения пластины, зависящие от координат поверхности пластины x, y и от времени t;
– цилиндрическая жёсткость; Е – модуль упругости; ν – коэффициент Пуассона; ρs – плотность материала пластины; τ – время релаксации деформаций; β – коэффициент вязкого сопротивления; h – толщина пластины; f – интенсивность внешней нагрузки на пластину.
Внешняя нагрузка на пластину 
со стороны жидкости определяется полем давлений, которое формируется от движения подводного объекта, упругих изгибных волн пластины и, в некоторых случаях, от других факторов (например, поступательного течения). Для определения гидроупругого взаимодействия необходимо совместное решение уравнения (1) и уравнений гидродинамики. Так как при изгибе ледяного покрова перемещения, скорости и ускорения являются малыми по сравнению с соответствующими размерами подводного объекта и его параметрами движения, применим линейную постановку задачи гидроупругости. Граничные условия на пластине снесём на её недеформированную поверхность, а гидродинамическую нагрузку определим в виде
(3.3)
где fo – гидродинамическое давление на поверхность льда как на твёрдую стенку от движения подводного судна; fst = ρwgw – гидростатическая реакция жидкости на изгиб пластины; ρw – плотность жидкости; g - гравитационная постоянная, fd – интенсивность силы волнового демпфирования; fw – интенсивность силы инерции жидкости от изгиба пластины.
Для определения гидродинамических нагрузок fo рассмотрим движение подводного судна с заданной скоростью v(t) в невязкой и несжимаемой жидкости. Поле скоростей жидкости в каждый момент времени определяется решением краевой задачи для уравнения Лапласа:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
на
.
где φ - потенциал скорости жидкости; Ω - область жидкости; Г = Гs + Гw + Г∞ - граница области Ω; Гs – поверхность подводного судна; Гw – поверхность ледяной пластины; Г∞ - условная граница - часть сферы радиуса R на бесконечном удалении от судна; n – нормаль к границе жидкой среды; v – поступательная скорость подводного судна.
Давление в жидкости определяется интегралом Коши – Лагранжа
(3.7)
где p - давление, Z - отстояние точки от свободной поверхности жидкости (поверхности нулевого потенциала массовых сил). Давления на ледяную поверхность, в предположении малости прогибов можно определить из линеаризованного уравнения:
(3.8)
При анализе нестационарного течения необходимо задать начальные условия, включающие положение границ и поле скоростей в первый момент времени.
Для определения гидродинамических нагрузок fw рассмотрим упругие деформации ледяного покрова со скоростью 
. Поле скоростей жидкости в каждый момент времени определяется решением краевой задачи для уравнения Лапласа (3.4), (3.5), (3.7) с граничным условием на поверхности льда:
(3.9)
Эти уравнения необходимо решать совместно с уравнениями движения упругой пластины (3.2) – (3.3). Таким образом, система уравнений (3.2) – (3.9) определяет постановку гидроупругой задачи.
Для сплошного ледяного поля (пластины бесконечной протяжённости) при отсутствии существенных течений волновым демпфированием и вязким трением водной среды можно пренебречь. Тогда с учётом (3.3) и (3.8) уравнение движения упругой пластины бесконечной протяжённости (3.2) можно представить в виде
(3.10)
При движении судна с относительно небольшой скоростью (Fr < 0.2) изгиб ледового покрова можно считать статическим. Тогда, вместо рассмотрения гидроупругой задачи, можно отдельно определить поле давлений на лёд от движения судна f0, а затем рассчитать квазистатическое напряжённо-деформированное состояние ледового покрова из уравнения:
(3.11)