Научная электронная библиотека

Численный расчет напряженно-деформированного состояния ледяного покрова, находящегося под действием нестационарной нагрузки

Жесткая В. Д., Чижиумов С. Д.,

1.3. Система матричных дифференциальных уравнений задачи

Используя алгоритм метода конечных элементов, построим дискретную модель ледяной пластины и положим, что

, (1.11)

где N_i(x,y) - функции формы, q_im(t) - компоненты вектора узловых перемещений [q]_m(t):

, (1.12)

n - число узловых перемещений, оно же – число степеней свободы дискретной модели, поскольку перемещения в любой точке дискретной модели полностью определяются набором узловых перемещений. Тот же смысл эта величина имеет и в формулах (1.5), (1.6). Значение n связано с типом и количеством конечных элементов, образующих дискретную модель ледяной пластины. Необходимое для достижения достаточной точности число конечных элементов оценивается отдельно для каждой конкретной задачи.

Прогиб пластины

где

Величины q_i(t) являются компонентами полного вектора узловых перемещений [q](t):

. (1.13)

Для получения разрешающей системы уравнений задачи применим обобщенный метод Бубнова-Галеркина.

Из первого уравнения системы (1.10), интегрируя по площади пластины S, получим

и затем

(1.14)

Интеграл входящий в (1.14), можно привести к виду

,(1.15)

где Г - граница области S, - производная по нормали к Г.

В ряде случаев вместо (1.15) можно использовать аналогичную, но более простую зависимость:

. (1.16)

Укажем некоторые типы граничных условий, приводящих к нулевому значению интегралов по контуру в (1.15), (1.16) [2]. Во всех случаях рассматривается прямоугольная пластина; оси x и y совмещены с ее продольной и поперечной кромками.

1. Пластина жестко заделана по контуру.

2. Одна из продольных кромок (y = b) пластины совершенно свободна, остальные кромки жестко заделаны.

3. Одна из поперечных кромок (x = a) совершенно свободна, остальные - жестко заделаны.

Если интегралы по контуру Г в (1.16) равны нулю, то (1.14) принимает вид

. (1.17)

На основании (1.11) вариация перемещения w_m

Внося w_m в форме (1.11) и dw_m в (1.17) и сокращая на dq_jm , получим:

, j=1,2,....,n . (1.18)

Обозначим

(1.19)

(1.20)

В случае использования формулы (1.15) получим вместо (1.19)

. (1.21)

С учетом обозначений (1.19), (1.20), (1.21) формула (1.18) примет вид

(1.22)

Полученную систему уравнений (1.22) можно записать в виде матричного уравнения

, (1.23)

где элементы m_{i j} матрицы [M]_m находятся по формуле

элементы c_{i j} матрицы [C] - по формуле

элементы k_{i j} матрицы [K] - по формуле

а [P](t) - вектор внешних узловых нагрузок, компоненты которого определяются следующим образом:

Рассмотрим теперь второе уравнение системы (1.10). Принимая в качестве весовой функции величину пропорциональную j_m (см. уравнение (1.9)), согласно методу Бубнова-Галеркина можем написать, что