Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Численный расчет напряженно-деформированного состояния ледяного покрова, находящегося под действием нестационарной нагрузки

Жесткая В. Д., Чижиумов С. Д.,

3.1.1. Задача 1. Движение нагрузки с начальным ускорением

Сосредоточенная сила Р в начальный момент времени имеет нулевую скорость и находится в точке А (см. рис. 3.1). При этом ледяная пластина имеет соответствующий статический прогиб.

Закон движения силы Р принят следующий: Р начинает двигаться по оси x с постоянным ускорением, за время t₀ приобретает заданную скорость v и продолжает дальнейшее движение в том же направлении с этой скоростью. При решении задачи рассматривался период времени, за который Р перемещалась от точки А до точки В (см.рис. 3.1). Параметры задачи имели следующие значения: P = 0,4×10⁶ Н; a = 50 м; v = 4 м/с; t₀ = 25 с;
Е = 0,73×10¹⁰ Пa; n = 0,3; толщина льда h = 0,5 м; глубина водоема H = 5 м; плотность льда r_i = 900 кг/м³; плотность воды r_w = 1000 кг/м³; время релаксации деформаций t_f = 10 с. Шаг сетки времени Dt был принят равным 0,3125 с. Для выбора Dt задача предварительно решалась при разных, постепенно убывающих, значениях последнего. То значение Dt, начиная с которого результаты решения становились практически неизменными, и принималось в качестве расчетного.

Результатами решения задачи являются значения перемещений и напряжений в узловых точках дискретной модели ледяной пластины в заданные моменты времени, соответствующие узлам сетки времени. В таблицах 3.1, 3.2 (они представляют собой распечатки результатов работы программы) приведены значения узловых перемещений пластины для двух моментов времени. В заголовках таблиц даны номера узлов дискретной модели (рис. 3.2). Для каждого узла в столбце таблицы даны, в порядке перечисления, прогиб w (м), угол поворота (рад), угол поворота (рад), вторая смешанная производная (1/м).

.

Рис. 3.2. Номера конечных элементов (цифры в кружках) и узлов дискретной модели в задаче 1.

В таблице 3.3 приведены значения напряжений на поверхности ледяной пластины , , (для краткости в таблицах и на графиках эти напряжения обозначены s_x , s_y , t_xy соответственно) определенных по формулам (1.45), для момента времени, когда Р проходит узел 11. Напряжения вычислялись в ряде точек (x, y), взятых в пределах конечных элементов 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, расположенных поблизости от места приложения силы Р (см. рис. 3.2, где указанная область выделена темным цветом). Напряжения в прочих элементах не приводятся ввиду их малости.

Таблица 3.1

Узловые перемещения при статическом приложении силы Р в точке А (узел 2) перед началом движения

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :            1          :          2          :          3          :          4           :         5         :

  ----------------------------------------------------------------------------------------

        .3709E-02     -.2964E-01      .3709E-02     -.1511E-03      .3708E-02

       -.4128E-03     -.9843E-11      .4128E-03      .2912E-04      .1910E-11

       -.5857E-05      .1202E-03     -.5857E-05     -.3299E-04      .4316E-03

       -.2108E-05      .1311E-12      .2108E-05     -.6832E-05      .5092E-12

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :            6           :         7           :         8           :         9           :        10       :

  ----------------------------------------------------------------------------------------

       -.1511E-03     -.4497E-04      .1381E-03     -.4497E-04     -.5078E-05

       -.2912E-04      .8063E-05     -.3184E-12     -.8063E-05      .1030E-05

       -.3299E-04     -.7235E-05      .1787E-04     -.7235E-05     -.6802E-06

        .6832E-05     -.1305E-05      .1274E-12      .1305E-05     -.1601E-06

  -----------------------------------------------------------------------------------------

  :           11           :        12          :        13          :        14          :        15        :

  -----------------------------------------------------------------------------------------

        .8901E-05      -.5078E-05     -.3498E-06      .9380E-06     -.3498E-06

       -.1393E-12      -.1030E-05      .1186E-06     -.6966E-13     -.1186E-06

        .1342E-05      -.6802E-06     -.4921E-07      .1424E-06     -.4921E-07

        .5841E-13       .1601E-06     -.1831E-07      .1659E-13       .1831E-07

  -----------------------------------------------------------------------------------------

  :           16          :         17          :         18           :        19         :       20        :

  -----------------------------------------------------------------------------------------

       -.2931E-07       .1001E-06      -.2931E-07     -.3024E-08      .1100E-07

        .1343E-07      -.1679E-13      -.1343E-07      .1557E-08     -.3557E-14

       -.4373E-08       .1514E-07      -.4373E-08     -.4352E-09      .1571E-08

       -.2064E-08       .3402E-14       .2064E-08      -.2232E-09      .5497E-15

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :           21          :         22          :         23          :        24         :        25       :

   ---------------------------------------------------------------------------------------- 

        -.3024E-08

        -.1557E-08

        -.4352E-09

         .2232E-09

Таблица 3.2

Узловые перемещения в момент прохождения силой Р узла 11 (задача 1)      

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :           1           :         2           :         3            :        4           :          5        :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

        .3530E-03      .4416E-03      .3524E-03     -.6307E-03     -.7017E-03

       -.4582E-05      .4659E-08      .4573E-05      .1145E-04      .1293E-07

       -.6617E-06      .2696E-04     -.6346E-06      .2946E-05     -.1019E-03

        .2940E-06      .2070E-10     -.2939E-06     -.2391E-05     -.2971E-09

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :            6           :         7           :         8           :          9           :         10     :

  ----------------------------------------------------------------------------------------

       -.6308E-03      .2147E-02      .2112E-02      .2146E-02      .3683E-03

       -.1146E-04     -.2507E-03      .3108E-08      .2507E-03     -.7866E-04

        .2946E-05     -.4500E-04      .5315E-03     -.4501E-04      .1145E-03

        .2391E-05     -.1850E-05     -.3386E-09      .1849E-05      .1285E-04

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :         11           :        12          :        13           :       14          :        15        :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

       -.2703E-01      .3686E-03     -.2719E-03      .7104E-05     -.2713E-03

        .9728E-08      .7868E-04     -.2026E-05      .2742E-09      .2028E-05

       -.9283E-03      .1145E-03     -.1915E-04     -.3342E-04     -.1917E-04

       -.1518E-09     -.1285E-04     -.5999E-06      .7482E-09      .6002E-06

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :          16          :        17          :        18           :        19          :       20        :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

        .3173E-03      .5148E-03      .3173E-03      .2674E-03      .4114E-03

       -.6032E-05      .8611E-08      .6034E-05     -.5311E-05     -.9415E-09

       -.7105E-05     -.1011E-04     -.7100E-05      .6280E-05      .9910E-05

       -.1581E-06      .6927E-09      .1587E-06      .1232E-06      .4707E-09

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :           21          :        22          :        23          :       24           :        25       :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

          .2669E-03

          .5308E-05

          .6266E-05

         -.1231E-06

Таблица 3.3

Напряжения при прохождении силы Р через узел 11 (задача 1)

Продолжение таблицы 3.3

По результатам счета построены графики прогибов в точках пластины, расположенных на оси x, для соответствующих моментов времени (рис. 3.3, где положение силы Р обозначено стрелкой).

На рис. 3.4 - 3.6 даны эпюры напряжений для момента, когда Р проходит узел 11. На рис. 3.7 приведены графики прогибов и максимальных напряжений в точках оси x при статическом приложении силы Р в узле 11 для сравнения с соответствующими динамическими значениями. Статические напряжения и прогибы были рассчитаны методом конечных элементов при той же дискретизации ледяной пластины и тех же значениях основных параметров (кроме скорости движения силы, которая в данном случае равна нулю), что и в задаче 1.

.

.

Рис. 3.3. Графики прогибов ледяной пластины (задача 1).

.

.

.

.

Рис. 3.7. Эпюры напряжений в точках оси x при статическом приложении силы Р в узле 11.

На рис. 3.8 представлен график поверхности пластины (учитывая симметрию задачи относительно оси x, только при y ³ 0) для момента времени, когда Р проходит узел 11.

.

Рис. 3.8. График поверхности пластины.