Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Частично пористые газостатические опоры шпиндельных узлов. Теория и эксперимент: монография

Космынин А. В., Виноградова С. В., Виноградов В. С., Щетинин В. С., Смирнов А. В.,

2.3. Метод и алгоритм решения задачи

Решение дифференциального уравнения (2.16) с учетом граничных условий (2.17)-(2.27) выполняется итерационным методом Гаусса-Зейделя. Для этого вводится вспомогательный массив . Элементы этого массива задаются следующим образом.

При i = 1, 2, 3, ...,  и j = 1, 2, 3, ...,

.             (2.37)

Первые столбец и строка элементов массива V заполняются согласно равенствам:

;            (2.38)

.          (2.39)

На основании выражения (2.6) значение каждого элемента массива V находится из решения уравнения:

   (2.40)

Как и выражение (2.16) данное уравнение не распространяется на элементы массива V, лежащих на границе пористых вставок. На этих границах, исходя из (2.28)-(2.34), используются формулы:

- на линии  каждой k-й вставки

,    ;          (2.41)

- на линии  каждой k-й вставки

,   ;             (2.42)

- на линии  каждой k-й вставки

,    ;          (2.43)

- в точках с координатами ( )

;                          (2.44)

- в точках с координатами ( )

;                         (2.45)

- в точках с координатами ( )

;                     (2.46)

- в точках с координатами ( )

.                       (2.47)

Для решения системы нелинейных уравнений методом Гаусса-Зейделя необходимо задать нулевое приближение искомой величины. В качестве таковой в данном случае выступают элементы массива . Их нулевое приближение задается согласно, представленным на рис. 2.6 графиком.

 

Рис. 2.6. Характер распределения относительного давления
в зазоре подшипника в нулевом приближении

Как видно из этого графика, в нулевом приближении элементы массива  равны:

;

,

где  - задаваемое значение относительного давления ( ).

После заполнения массива  значениями нулевого приближения  [по формулам (2.37)-(2.39)] расчет относительного давления в узлах конечноразностной сетки, выполняемый согласно выражениям (2.40)-(2.47), идет при  и .

Это связано с тем, что, во-первых, в процессе итераций согласно граничному условию (2.18) происходит присваивание

,

а, во-вторых, в силу граничного условия (2.20)

.

При этом заметим, что в ходе итераций, исходя из (2.38) и (2.39), поддерживаются равенства:

;

.

Система уравнений (2.40)-(2.47) считается решенной при выполнении условия:

,         (2.48)

где m - число итераций.

Как показали вариантные расчеты подшипников при не вращающемся вале, столь высокое задание погрешности в (2.48) обеспечивает ошибку в определении угла ориентации нагрузки Ψ не выше одного градуса.

Выражение (2.48) является необходимым, но не достаточным условием завершения итерационного процесса. Последнее связано с тем, что в начальной стадии расчетов неизвестен угол ориентации нагрузки Ψ. Таким образом, при решении совокупной системы уравнений (2.40)-(2.47) неизвестными оказываются координаты  и  каждой вставки, что и является причиной второго итерационного цикла.

Для его проведения необходимо задать вполне определенную схему расположения вставок во вкладыше подшипника. Имея это в виду, в расчетах принято такое расположение вставок, когда центр одной из них находится на вертикальной оси симметрии вкладыша в нагруженной части подшипника.

Условие окончания второго итерационного цикла имеет вид:

,

где  - номер горизонтальной линии, на которой находится ближайший к линии j = 1 центр какой-либо вставки.

Описанные выше методика и алгоритм расчета легли в основу создания программы для ПВЭМ [151] по расчету эксплуатационных характеристик частично пористых однорядных газостатических опор шпиндельных узлов.