Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Методы построения активных фильтров подавления импульсных помех в сетях электропитания промысловых судов

Горева Т. С., Портнягин Н. Н.,

2.5. Квадратное дерево вейвлет-пакетов

Базисы вейвлет-пакетов строятся в пространстве , элементы которого - сепаребельные произведения вейвлет-пакетов

,

имеющих одинаковые масштабы вдоль осей x₁ и x₂. Эти сепарабельные базисы вейвлет-пакетов связаны с квадратными деревьями и разбивают двумерную плоскость Фурье  на квадратные области различных размеров. Сепарабельные базисы вейвлет-пакетов - это расширение сепарабельных вейвлет-базисов.

Если изображения приближаются с масштабом 2^L, то с корнем квадратного дерева мы связываем пространство аппроксимации , объясняет,как разложить V_L с помощью двоичного дерева вейвлет-пакетов пространств , которые допускают ортогональный базис . Двумерное квадратное дерево вейвлет-па­кетов состоит из сепарабельных пространств вейвлет-пакетов. Каждый узел этого квадратного дерева помечается масштабом 2^j и двумя целыми числами:  и , и соответствует сепарабельному пространству

.              (2.32)

В результате сепарабельный вейвлет-пакет при x =  (x₁, x₂) есть

.

Ортогональный базис  получается как с6епарабельное произведение базисов вейвлет-пакетов  и  и может быть записан как

.

В корне  вейвлет-пакет есть двумерная масштабирующая функция

.

Одномерные пространства вейвлет-пакетов удовлетворяют равенствам

 и .

Из подстановки этих уравнений в (4.1.) следует, что  есть прямая сумма четырех ортогональных подпространств

              (2.33.)

Эти подпространства расположены в четырех рожденных узлах квадратного дерева, как показано на рис.2.3. Допустимым квадратичным деревом называется любое квадратичное дерево, узлы которого имеют 0 или 4 рожденных.

Рис. 2.3. Квадратичное дерево вейвлет-пакетов для изображений
строится рекурсивно разложением каждого сепарабельного
пространства  на четыре подпространства

Пусть  - индексы узлов у листьев допустимого квадратичного дерева. Рекурсивное применение сумм (1.33.) вдоль ветвей этого квадратичного дерева дает ортогональное разложение :

.

Поэтому объединение соответствующих базисов вейвлет-пакетов

есть ортонормированный базис .

Число базисов вейвлет-пакета

Число различных базисов в полном квадратном дереве вейвлет-пакетов глубины J равняется числу допустимых поддеревьев.

Число B_J базисов вейвлет-пакета в полном квадратичном дереве вейвлет-пакета в полном квадратном дереве вейвлет-пакетов глубины J удовлетворяет неравенствам