Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Методы построения активных фильтров подавления импульсных помех в сетях электропитания промысловых судов

Горева Т. С., Портнягин Н. Н.,

2.2.2. Нулевые моменты вейвлетов

В применениях вейвлет-базисов используется их способность эффективно аппроксимировать специальные классы функций с помощью небольшого числа нулевых вейвлет-коэффициентов. Это верно при удалении шума и быстрых вычислениях. Поэтому построение ψ должно быть оптимизировано в смысле получения максимального числа вейвлет-коэффи­циентов , которые близки к нулю. Функция f имеет несколько вейвлет-коэффициентов, которые не являются пренебрежимо малыми, если большинство мелкомасштабных вейвлет-коэффициентов мало. Это зависит в основном от гладкости f, числа нулевых моментов  и от размера его носителя.

Вейвлет ψ имеет p нулевых моментов, если

  для .          (2.24)

Это означает, что ортогонален любому многочлену степени p - 1. Если f - гладкая функция и  имеет достаточно нулевых моментов, то вейвлет-коэффициенты  малы при малых масштабах 2^j.

Пусть ψ и φ - вейвлет и масштабирующая функция, которые порождают ортогональные базисы. Предположим, что  и . Четыре следующих утверждения эквивалентны:

(1) Вейвлет ψ имеет p нулевых моментов.

(2)  и его первые p - 1 производная равны нулю при ω=0.

(3)  и его первые p - 1 производная равны нулю при .

(4) При любом

Утверждение (4) называется условием Фикса-Стрэнга. Полиномы  определяют базис пространства многочленов степени p - 1. Поэтому условие Фикса-Стрэнга утверждает, что  имеет p нулевых моментов тогда и только тогда, когда любой многочлен степени p-1 может быть представлен как линейная комбинация . Коэффициенты разложения многочленов q_k не имеют конечной энергии, потому что её не имеют сами многочлены.