Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
6.4. Методы анализа экономических временных рядов
Эконометрические модели начали использоваться для экономического прогнозирования в 60-е годы ХХ в. С этого времени структура экономики развитых стран и методы эконометрического анализа претерпели кардинальные изменения. В то же время проблема прогнозирования будущего состояния экономики остается нерешенной, что требует усовершенствования эконометрических моделей.
Специалисты сосредоточены на исследованиях, связанных с коинтеграцией (метод определения долговременной взаимосвязи в группе переменных динамичных рядов); на прогнозировании и оценке параметров, меняющихся во времени. В частности, разработка американским экономистом Р. Инглом проблемы коинтеграции меняет подход экономистов-практиков к изучению временных рядов.
Временные ряды - последовательность наблюдений за экономическими изменениями за одинаковые временные интервалы.
Анализ временных рядов - основной инструмент экономической науки и одна из самых плодотворных сфер анализа для экономистов. Временные ряды необходимы для анализа эволюции во времени экономических и социальных связей между переменными (например, эконометрическая модель поведения совокупной безработицы, которая базируется на временных рядах, может дать ценную информацию об ее эволюции во времени, хотя не дает сведений о структуре или продолжительности безработицы). Большая часть использующихся данных имеет вид временных рядов, массив которых постоянно расширяется.
Одним из известнейших исследователей в этой области является К. Грэнджер.
Грэнджер (Granger) Клив (также Клайв) (род в 1934) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (2003). Родился в г. Суонс (Уэльс, Великобритания). Учился в Ноттингемском университете, где в 1955 г. защитил бакалаврскую работу по математике, а в 1959 г. - докторскую диссертацию по статистике. Работал профессором Калифорнийского университета (г. Сан-Диего).
Он автор больше десяти книг, свыше двухсот научных статей.
К. Грэнджер - член Британской национальной академии наук, Американского эконометрического общества, Американской и Финской академий искусств и наук; заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный доктор Ноттингемского, Мадридского, Лафборского университетов и Стокгольмской школы экономики, заслуженный профессор Калифорнийского университета.
Ингл (Engle) Роберт (род. в 1942) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (2003). Родился в г. Сиракьюс (штат Нью-Йорк, США). Учился в Корнелльском университете. В 1969 г. защитил докторскую диссертацию по экономике. В течение 1969-1974 гг. работал ассистентом профессора Массачусетского технологического института; в 1975 г. - адъюнкт-профессор Калифорнийского университета г. Сан-Диего. Через два года занял должность профессора. На протяжении 1990-1994 гг. был деканом экономического факультета этого же университета, позже - профессор менеджмента финансового факультета Нью-Йоркского университета.
Р. Ингл - известный эксперт по анализу временных рядов в течение долгосрочных периодов на финансовых рынках. Его исследования посвящены таким инновационным статистическим методам, как ARCH-моделирование, коинтеграция, взаимосвязанные спектральные регрессии. В своих исследованиях использует методы финансовой эконометрии для проведения операций с акциями, валютными и процентными ставками, опционами.
Он член Американского эконометрического общества и Американской академии искусств и наук.
Разработка анализа временных рядов (и на его основе - прогнозирование и контроль) основала новое направление в методах прогнозирования, стала теоретической основой ARIMA-анализа, по которому определенный временной ряд моделируют лишь с помощью его прошлых значений и экзогенной случайной величины, и методологии, необходимым условием которой является стационарность рассматриваемого временного ряда. Такая методология является сравнительно новым поколением средств прогнозирования, основанных на анализе вероятностных (стохастических) особенностей временных рядов. При этом определенный временной ряд моделируется лишь с помощью его прошлых значений (лагов) и экзогенной случайной величины. Необходимым условием внедрения ARIMA-методологии является стационарность временного ряда - математического ожидания (среднее), дисперсия и автоковариация (в разных промежутках) которого не зависят от времени. Если он стационарный, то его можно смоделировать разными способами, в частности с помощью двух составляющих - авторегрессийной (AR) и скользящего среднего (MA). Соответственно сама модель является комбинацией этих двух составляющих.
Поскольку ARIMA-методология используется только для стационарных рядов, то первым шагом в идентификации процесса становится проверка временного ряда на стационарность. Необходимость того, чтобы временные ряды были стационарными при ARIMA-моделировании, обусловлена тем, что эти модели используются для прогноза, а прогнозировать можно поведение только тех процессов, основные характеристики которых (средняя, дисперсия и коэффициенты автоковариации) не зависят от времени. Невозможно предусмотреть поведение того процесса, в основе которого нестационарный временной ряд (математическое ожидание, дисперсия и автоковариация его меняются в зависимости от времени). В таком случае сложно найти постоянные средней и дисперсии, поэтому следует искать возможные преобразования ряда, которые могут свести его к стационарному. Такими преобразованиями и является операция различий.
Моделирование экономических процессов с помощью ARIMA-моделей дает возможность выявить динамическую связь между поточными и лаговыми значениями исследуемого показателя. Эти модели являются удобным инструментом кратко- и среднесрочного прогнозирования отдельных временных рядов. Однако современные исследования сосредоточены на разработке аппарата одновременного моделирования нескольких временных рядов с помощью системы динамических уравнений ARIMA-процессов, что дает возможность включать и исследовать взаимообратные связи между показателями и их лаговыми значениями.
Таким образом, VAR-модели (векторная авторегрессионная модель) является расширением концепции ARIMA-моделирования отдельного временного ряда. Термин «вектор» в этом случае указывает, что моделируются одновременно два или более временных ряда. Термин «авторегрессионная» означает включение лаговых значений зависимых переменных в правую часть каждого отдельного уравнения системы. Стабильность VAR-моделей является необходимым условием их практического использования. Она предусматривает, что последовательность внешних шоков для VAR-системы имеет конечный падающий эффект, то есть если шоки затухают со временем, то VAR-модель является стационарной.
В 90-е годы ХХ в. активно развивается новое направление моделирования с помощью моделей корректирования ошибки (error correction model - ECM). Эти модели являются структурной формой VAR-моделей, которая включает нестационарные переменные. Для оценки таких систем необходимы дополнительные знания, в частности коинтеграции временных рядов. Коинтеграция переменных дает возможность строить корректные модели даже в случае их нестационарности, не преобразуя временные ряды оператором различий в стационарные. Это важно для прикладных исследований, так как, используя оператор различий, утрачивается ценная «долгосрочная» информация о динамике поведения временного ряда. Поэтому преобразовывать ряды целесообразно только при необходимости.
Построение и корректное внедрение ЕСМ предусматривает определенную последовательность.
1. Проверка рядов на стационарность. Если они не стационарны, то необходимо определить порядок интеграции. При одинаковом порядке интеграции можно переходить к проверке рядов на коинтеграцию.
И только тогда, когда ряды коинтегрируют, можно строить ЕСМ (она является не чем иным, как VAR в структурной форме), и оценивать ее неизвестные параметры.
Именно Р. Ингл и К. Грэнджер предложили собственное понимание коинтеграции: если между рассматриваемыми переменными существует долгосрочная связь, то очевидно долгосрочное равновесие достигается, когда:
γ1Υ1t + γ2Υ2t + ... + γkΥkt = 0,
или в матричном виде:
γΥt = 0, где γt = {γ1, γ2, ..., γk}, Υt = {Υ1t, Υ2t, ..., Υkt}.
Отклонения от долгосрочного равновесия называют «ошибкой равновесия», что, соответственно, равняется et = γΥt.
Если равновесие есть, то необходимо, чтобы ошибка равновесия была стационарным процессом.
Исходя из приведенных формул, Р. Ингл и К. Грэнджер утверждают: компоненты вектора Υt = {Υ1t, Υ2t, ..., Υkt} являются коинтегрированными порядка d,b: ~ CI (d,b), если:
- все компоненты Υt имеют одинаковый порядок интеграции d;
- существует вектор коэффициентов γt = {γ1, γ2, ..., γk} такой, что линейная комбинация γ1Υ1t + γ2Υ2t + ... + γkΥkt является интегрированной величиной порядка (d - b), b > 0.
Вектор γ = {γ1, γ2, ..., γk} называют «коинтеграционным вектором». Очевидно, что если γt = {γ1, γ2, ..., γk} является коинтеграционным вектором, то для любого дополнительного Ø значения Øγ = {Øγ1, Øγ2, ..., Øγk} является также коинтеграционным вектором. Поэтому на практике одна из переменных используется для нормализации коинтеграционного вектора, то есть соответствующий коэффициент должен быть равен единице.
2. Проверка временных рядов на коинтеграцию. Есть несколько принципиально разных подходов к тестированию временных рядов на коинтеграцию. Р. Ингл и К. Грэнджер предложили сначала оценить уравнение долгосрочного равновесия, рассчитать избытки, то есть получить соответствующий временной ряд избытков, а потом, если излишки окажутся стационарным рядом, можно сделать вывод о коинтеграции.
На рубеже ХХ и ХХI в. в рамках теории валютного курса основные усилия ученых были направлены на изучение долгосрочных взаимосвязей относительных цен и валютных курсов. Они использовали современные методы эконометрического анализа: определение порядка интегрированности временных рядов и их тестирование на коинтеграцию.
Если два временных ряда коинтегрированы, то это означает, что их индивидуальные тренды взаимозависимы и не могут значительно отклоняться один от другого. Согласно разработке Р. Ингла и К. Грэнджера для коинтегрированных переменных существует ЕС-распределение (error correction representation). Этот механизм улавливает краткосрочное корригирование переменных относительно долгосрочного равновесия. То есть если номинальные валютные курсы и относительные цены коинтегрированы, то паритет покупательской способности является условием подобного равновесия валютных курсов, и они в своей долгосрочной динамике приближаются к нему.
В большинстве исследований, проводимых с использованием этой методологии, было установлено коинтеграцию валютных курсов и относительных цен. Однако в отношении разных групп стран эти результаты не были однозначными. Так, американские ученые К. Хабермайер и М. Месквита нашли подтверждение теории паритета покупательской способности для развитых стран, но не смогли доказать возможность ее использования развивающимися странами.
Значимыми являются также исследования Р. Ингла и К. Грэнджера и в сфере эконометрического прогнозирования. Известны разнообразные конкурирующие прогнозы с разными информационными множественностями и разными стратегиями моделирования. Эти прогнозы можно сравнивать с «прогностической способностью», то есть сопоставлять суммы квадратов ошибок прогнозирования. С помощью комбинирования разнообразных прогнозов также получают хорошие прогнозы. Такое комбинирование можно осуществить, рассчитывая регрессии фактических значений ряда от разнообразных прогнозов, константы и лаговых значений того же ряда. Прогноз, который не «вписывается» в такую регрессию, можно отбросить, поскольку над ним доминируют другие прогнозы.
Точечное прогнозирование имеет небольшую ценность для принятия решений без каких-либо указаний на неопределенность. Относительно большинства традиционных экономических прогнозов 95 %-ные интервалы вокруг прогнозированной точки необычайно велики, поэтому иногда рекомендуются 50 %-е интервалы. Еще одна проблема заключается в том, что дисперсии ошибок прогнозирования могут меняться во времени. Как и условная средняя fn,h, условная дисперсия может быть функцией использованной информационной множественности In:
h2n = E[(xn+h - fn,h)2|In].
Методы моделирования h2n менее разработаны, чем методы моделирования fn,h ошибки прогнозирования еп,1 = xn+1 - fn,1 часто являются белым шумом, но квадратичная ошибка может выявиться не такой, которая указывает на то, что условные дисперсии могут быть прогнозированными.
Обозначив через εt = xt - ft-1 одношаговые ошибки прогнозирования, Р. Ингл рассмотрел спецификацию:
и выявленный процесс назвал «авторегрессионным условным гетероскедастичным процессом» (такой, который предусматривает переменный разброс). Если дисперсия меняется во времени прогнозируемо, то преимущество ее моделирования заключается в том, что при учете гетероскедастичности удается достичь более точных оценок параметров в ft, а также получить более точные оценки интервалов вокруг прогноза средней.
Р. Ингл рассмотрел разные формы для ht, сделав вывод об их особенностях и методике оценки, а также использовав метод множителей Лагранжа для проверки авторегрессивной условной гетероскедастичности (построенные на основе этого подхода модели названы «ARCH-моделями»). Он использовал этот метод для анализа данных об инфляции в Великобритании и выявил четкие признаки прогнозируемости дисперсий: стандартное отклонение инфляции выросло за несколько лет с 0,6 до 1,5 % в меру движения экономики из предусматриваемых 60-х в хаотические 70-е годы.
Приведенное выше выражение для ht можно использовать для включения наблюдаемых управляющих переменных. Как пример К. Грэнджер исследовал связь между розничными и оптовыми ценами, причем в каждом уравнении дисперсии были специфицированы вышеописанным порядком, но с добавлением квадратичных лаговых значений моделированных и других цен, а также квадратичных ошибок прогнозирования других показателей. Обогащение спецификации ARCH обусловило появление лучших (по коэффициентам правдоподобности) моделей, а также более интересных интерпретаций моделей. Было выявлено, что и средние значения, и дисперсии оптовых цен влияют соответственно на средние значения и дисперсии потребительских цен. А квадраты потребительских цен не влияют на дисперсию оптовых цен. Если бы эти модели были построены без учета ARCH, то создавалась бы видимость влияния потребительских цен на оптовые цены. Однако с учетом ARCH эта причинная связь стала слабой.
Поскольку на практике дисперсии меняются во времени предсказуемо, то использование моделей ARCH можно рекомендовать для случаев, когда доверительным интервалам прогноза уделяется значительное внимание. Другие сферы анализа сосредотачиваются на тех отраслях экономической теории, где дисперсию используют как показатель риска (например, финансовая теория).
В последнее время инструментарий анализа временных рядов стремительно развивался. Но если брать для проверки на коинтеграцию две переменных, то лучше и далее использовать тест Ингла-Грэнджера (если проверять больше двух, то можно использовать технику Йохансена).
Исследование методов анализа экономических временных рядов в условиях изменчивости временной зависимости (ARCH) Р. Ингл и К. Грэнджер проводили на основе математической модели, которая дает возможность прогнозировать тенденции изменений ВВП, потребительских цен, процентных ставок, биржевого курса не только на следующий день, а даже на год вперед. Дело в том, что на финансовых рынках случайные отклонения показателей от постоянного значения (волатильность) являются необычайно важными, поскольку стоимость акций, опционов и других финансовых инструментов зависит от рисков. Отклонения могут значительно изменяться во времени: после периодов значительных перемен наступают периоды незначительных. Помимо того, что реальная волатильность изменчива, экономисты долгое время внедряли статистические методы, которые предусматривают ее постоянность.
И только выявленная в 1982 г. Р. Инглом авторегрессивная гетероскедастическая модель точно описывает множество временных рядов, которые встречаются в экономике.
Результаты исследования волатильности широко используют на практике, в частности:
а) с 1996 г. международные соглашения (так называемые Базельские правила) обязывают использовать показатели стоимости, поддающейся риску, при контроле необходимого капитала банков. Использование метода ARCH в этих и других ситуациях сделало его необходимым инструментом для оценки риска в финансовой сфере;
б) ими воспользовались эксперты для введения евро. Так, проект экономического и валютного союза, касающийся интересов ряда государств, был детально проанализирован академическими экономистами США и Великобритании.
Их интересовали вопросы, вырастут или уменьшатся флуктуации (случайные отклонения величины) параметров системы, то есть обменного курса, вследствие введения евро, вырастут или уменьшатся при переходе к единой валюте флуктуации платежного баланса, чего можно ожидать от курса доллар США/евро.
С помощью волатильности обменного курса было доказано, что флуктуаций станет меньше. Между странами-участницами Еврозоны они исчезнут вообще. А поскольку зона евро рассматривается как неизменное во времени творение, то будут равны нулю все форвардные премии и исчезнет разница в процентных ставках; останутся только ножницы в налоговых ставках и рисках дефолта. Содружество государств валютного союза станет великой зоной валютной стабильности.
Специалисты тоже пришли к выводу, что колебания платежных балансов при общей валюте станут меньшими, чем те, которые наблюдались при плавающих курсах. Исчезнут два источника нестабильности:
1) не будет колебаться обменный курс, движение которого стимулируют потоки капитала (спекулятивные потоки капитала исчезнут или существенно ослабнут);
2) в монетарной политике профициты платежных балансов, которые будут меньше или больше от желаемого уровня, автоматически будут корректироваться механизмом перелива резервов.
От платежных балансов внутри стран зоны евро не откажутся, но их корректировка будет программироваться ранее и окажется внешне не наблюдаемой за исключением экстраординарных случаев.
В отношении курса доллар США/евро отмечается, что он станет важнейшим ценовым фактором в мире. Некоторые считали, что этот курс должен иметь большие колебания, чем курс доллар США/немецкая марка, поскольку экономика Евросоюза более замкнута, чем объединенные в союз национальные экономики. Однако специалисты отклонили такое мнение. Если ориентироваться не на отношения импорта или экспорта к ВВП, а на общий баланс платежей, и прежде всего на движение капитала, то с устранением спекулятивных мотивов в зоне евро исчезнут и дестабилизирующие сдвиги от «более слабых» валют к «более сильным».
В целом сегодня уже невозможно изучать ключевые моменты в стабильности мировой денежной системы, не используя волатильности обменного курса. Кроме того, модель Ингла является незаменимой не только для ученых, но и для финансовых и рыночных аналитиков, которые используют ее при оценке собственности и рисков портфельных инвестиций.
Специалисты считают, что во многих аспектах экономические преобразования 90-х годов подобны преобразованиям первого десятилетия ХХ века. Эффект от осторожной финансовой политики одинаковый.
И все же, по мнению Р.-А. Манделла, мироустройство изменилось в худшую сторону: из-за постоянной изменчивости (волатильность) обменных курсов при отсутствии мировой валюты. От волатильности обменных курсов особенно страдают страны, которые стремятся поодиночке путем введения собственных масштабов и индексов достичь стабильности цен. Поэтому волатильность является мерилом тех изменений, которые претерпевают реальные обменные курсы, и отражает дисфункциональные перекосы внутреннего и международного развития отраслей, что еще больше усиливает свойственную финансовым рынкам нестабильность.
Последние разработки в области анализа нестационарных временных рядов уже влияют на методы прогнозирования. Р. Ингл и К. Грэнджер рассматривают свойства двух и большего количества объединенных переменных, каждая из которых является интегрированной первого порядка, в то время как их комбинация является стационарной (то есть интегрированной нулевого порядка). Такие переменные называются «коинтегрированными».
Коинтеграция играет важную роль в экономическом моделировании и прогнозировании. Во-первых, если переменные уравнения не коинтегрированы, то, поскольку ошибки не стационарны, связь между переменными может быть неправильно специфицирована (или получить в значительной мере достоверную оценку параметров будет сложно). Во-вторых, Р. Ингл и К. Грэнджер доказали, что если х и у являются интегрированными первого порядка, имеют постоянные средние и коинтегрированы, то существует механизм, который корректирует ошибки генерирования данных (модель корректировки ошибок), выражаемый аналитически следующим образом:
Δyt = -α1ut-1 + лаговые значения (Δy, Δx) + d(L)ε1t,
Δxt = - α2ut-1 + лаговые значения (Δy, Δx) + d(L)ε2t, (6.1)
где ut = yt - βxt, (6.2)
а Δ - оператор первых разниц. Здесь d(L) является конечным полиномом лагового оператора L, а εi - случайный процесс, причем
│α1│+│α2│ ≠ 0. (6.3)
Интерпретация (6.1) облегчается рассмотрением равновесной ситуации, при которой разницы в формуле (6.1) нулевые, и выражение (6.1) преобразовывается в (6.2) при иt = 0, то есть в равновесии в пропорциональный х. Отсюда, согласно выражению (6.2), и - это отклонение от равновесного значения, и поскольку и является стационарным с нулевой средней, то отклонение от равновесия в период t - 1 частично корректируется в период t. Значит, механизм корректировки ошибок в экономической интерпретации обеспечивает связь между структурными моделями и моделями временных рядов. Такой механизм корректировки ошибок является важнейшим для прогнозирования, поскольку он означает, что модель, включающая только различия переменных первого порядка, будет неправильно специфицирована по коинтегрированным переменным. Это может произойти, если, например, VAR-модель используется для аппроксимации данных, имеющих вид различий первого периода.
Ценность новаторских идей Р. Ингла и К. Грэнджера заключается не только в том, что они предложили новые методы моделирования экономических зависимостей, но и в том, что разработанные ими модели открыли новые сферы исследований. При этом нобелианты фундаментально обосновали использование таких моделей, доказали корректность эконометрической оценки их параметров в случае нарушения ряда классических прогнозов. Важно и то, что каждый из предложенных методов подтвердил теоретические результаты.