Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Сопротивление материалов: конспект лекций

Артамонова Е Н,

Лекция 15. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ

Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.  

Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента (M_x и M_y).

Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.

Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии , подставляя значения изгибающих моментов:

Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение нейтральной линии при внецентренном сжатии:

(35)

Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.

Рис. 43. Внецентренное сжатие

Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0, xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном сжатии с главными центральными осями:

Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении – сжатии

Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими, в другой – растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).

(36)

Ядро сечения – малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила, приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения сжимающие напряжения.

Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.

а     б

Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга

Изгиб с кручением. Такому нагружению (одновременному действию крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов. Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.

При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса .

Касательные напряжения значительно меньше напряжений от крутящего момента, поэтому ими пренебрегают. Опасное сечение бруса будет у заделки, где действуют максимальные напряжения от изгиба и кручения.

Исследуем напряженное состояние в наиболее опасной точке A (рис. 46). Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки прочности применяем одну из гипотез.  

Рис. 46. Эпюры изгибающих и крутящих моментов

Применяя третью теорию прочности

и учитывая, что и , получаем:

Для подбора сечения находим требуемый момент сопротивления