Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
2.1. Физическая сущность
Существующая модель расчета ускорения силы тяжести g основана на законе всемирного тяготения и втором законе Ньютона. В соответствии с названными законами ускорение силы тяжести на поверхности Земли определяется по известному
соотношению
где G – гравитационная постоянная; М = 5,98⋅1024 кг – масса Земли [48]; m – масса тела, находящегося на поверхности Земли; R – средний радиус Земли.
Расчетная модель основана на следующих предпосылках.
Рассмотрим тело, имеющее форму шара, движущееся в пространстве.
Первый случай
Если тело двигается только поступательно и прямолинейно без вращения под действием некоторого импульса, то точки А и В (рис. 2.1) имеют одинаковую линейную скорость V1 = V2. Центростремительное ускорение в этом случае отсутствует.
Рис. 2.1. Движение тела поступательно и прямолинейно без вращения
Например, пушечное ядро, вылетевшее из ствола пушки, может совершать такое движение на прямолинейном участке траектории полета и т.п.
Второй случай
К телу привязывается нить, другой конец которой жестко закрепляется в точке О (рис. 2.2). Как и в первом случае, телу придается импульс. В отличие от первого случая тело будет совершать круговое движение с радиусом, равным длине нити. Кинетическая энергия, которой обладает движущееся тело, является источником центробежной силы, направленной от центра вращения наружу. Центробежная сила уравновешена силой сопротивления (упругости) нити. Поскольку тело движется по криволинейной траектории, то имеет место и центростремительное ускорение, которое вызвано силой сопротивления нити, именно она заставляет тело двигаться по окружности. Действительно, если нить перерезать (сила сопротивления нити равна нулю), равновесие нарушится и тело вылетит за пределы орбиты вращения.
При этом точки А и В (рис. 2.2) также имеют примерно одинаковую линейную скорость V1 ≈ V2 в случае, когда радиус орбиты значительно превышает радиус тела (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Движение тела, связанного нитью
Третий случай
Если к поступательному прямолинейному движению (см. первый случай) рассматриваемого тела добавить вращение вокруг собственной оси (рис. 2.3), то необходимо сложить векторы орбитальной и вращательной скоростей.
Вследствие сложения векторов линейная скорость V1 в точке А будет больше, чем V2 в точке В (рис. 2.3)
Рис. 2.3. Совместное прямолинейное поступательное движение тела
с вращением вокруг собственной оси
Соответственно импульс в точке А будет больше, чем в точке В при одинаковой массе m
mV1 > mV2.
Иначе говоря, нижняя полусфера тела затормаживается по сравнению с верхней полусферой. Появляется крутящий момент в точке А относительно точки В (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Схема крутящего момента относительно точки В
Крутящий момент смещает центр масс в точке С рассматриваемого тела с прямолинейной траектории (пунктирная линия на рис. 2.3) в новое положение в точку С1 (рис. 2.5). В результате многократного смещения центра масс формируется криволинейная траектория (сплошная линия со стрелкой на рис. 2.3).
Рис. 2.5. Схема формирования криволинейной траектории
Например, если ударить по бильярдному шару не точно по его центру, а с некоторым смещением от центра, то шар будет двигаться не только поступательно, но и одновременно вращаться. Это так называемый «крученый удар» заставляет шар двигаться по криволинейной траектории.
Иначе говоря, в данном случае роль силы упругости нити (которой здесь нет) играет центростремительная сила. Тело движется равномерно по криволинейной траектории, находясь в равновесии. Центробежная сила, вызванная кинетической энергией движения по орбите, уравновешена центростремительной силой, вызванной взаимодействием поступательного и вращательного движения тела.
На основе предпосылок модели рассчитывается гравитационная постоянная. Вывод расчетной формулы гравитационной постоянной основан на следующих дополнительных предпосылках.
Тело, находящееся на поверхности Земли, подвергается действию силы тяжести F, которая в соответствии с законом всемирного тяготения определяется по формуле
(2.1)
С другой стороны, планета Земля совершает сложное движение, состоящее, в частности, из движения по орбите вокруг Солнца и вращения вокруг собственной оси. В результате движения по криволинейной траектории рассматриваемое тело вместе с Землей испытывает центростремительное ускорение a. Полагая, что центростремительное ускорение a есть ускорение силы тяжести, а также, что расстояние между крайними точками диаметра Земли равно отрезку АВ, т.е. D = 2R.
Тогда силу тяжести можно определить по второму закону Ньютона как
F = ma. (2.2)
Приравнивая (2.1) и (2.2), получим
Отсюда гравитационная постоянная G
(2.3)
Используя известное соотношение, связывающее перемещение, ускорение и скорость, и учитывая, что перемещение направлено вдоль диаметра Земли D, можно записать
или
(2.4)
Подставим (2.4) в (2.3), тогда
где x = D/2 = R.
Поскольку х – радиус сложного криволинейного движения, то более точно он определяется как
x = R – rэ = 6,37∙106 – 4,70⋅106 = 1,67⋅106 м,
где rэ = 4,70⋅106 м – эксцентриситет вращения Земли.
В результате выведена расчетная формула гравитационной постоянной, которая имеет вид
(2.5)
При подстановке в (2.5) численных значений гравитационная постоянная G равна
Справочное значение гравитационной постоянной 6,67·10–11 Н·м2/кг2 [48]. Размерность м3/кг·с2 тождественна Н·м2/кг2.
Расхождение определения гравитационной постоянной по сравнению со справочной величиной составляет минус 1 %.
Удовлетворительная сходимость результатов расчета ускорения силы тяжести и гравитационной постоянной с экспериментальными данными подтверждают адекватность модели.
Таким образом, коэффициент G является функцией результирующей скорости орбитального и вращательного движения тела, а также зависит от массы взаимодействующих тел.