Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ОТ ЧЕТЫРЕХ К ОДНОМУ. СИЛЫ ВНУТРИАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ

Бадамшин И Х,

2.2. Модель нагружения вращающегося ротора

Характерной особенностью авиационного газотурбинного двигателя является наличие массивного быстровращающегося ротора. Это обстоятельство является причиной возникновения дополнительных внешних нагрузок на двигатель, в частности, гироскопического момента, возникающего при эволюциях летательного аппарата (рис. 2.6) [49].

Кроме того, на ГТД действуют инерционные нагрузки и сила тяжести.

Ориентация ротора ГТД в соответствии с направлением векторов внешних сил позволяет изменить величину суммарного вектора внешних сил с целью уменьшения нагрузки на двигатель.

Рис. 2.6. Схема направлений действия гироскопического момента для одного из видов эволюции самолета [49]

Для решения поставленной задачи разработана модель поступательного движения вращающегося тела.

Обоснование модели

Задача решается на примере совместного поступательного и вращательного движения тела – шара.

Допущения.

1. Используется принцип суперпозиции.

2. Рассматривается движение центра масс тела по окружности в инерциальной системе координат XOY с центром в точке О (рис. 2.7).

3. Решается первая задача механики: при заданной траектории движения найти действующие силы. К телу приложены постоянные по величине внешняя сила F1 в центре масс точке С, направленная по касательной к окружности, и момент пары сил (F2, ) (рис. 2.7, а). В результате чего тело движется плоскопараллельно, а центр масс (точка С) – равномерно по окружности. Такое движение описывается системой дифференциальных уравнений [50]

(2.6)

(2.7)

(2.8)

где m – масса тела; а = dV/dt – ускорение центра масс поступательного движения; Ic – момент инерции центра масс; Fi – внешние силы; e – угловое ускорение; Mc – момент сил относительно центра масс.

а б в

Рис. 2.7. Схема действующих сил

Рассмотрим движение центра масс – точки С – по окружности (рис. 2.7, б, в). В соответствии с теоремой о движении центра масс момент от пары сил F2 равен нулю (рис. 2.7, б). В этом случае вращательная часть движения не рассматривается, а уравнение (2.8) не используется. Тогда сумма внешних сил, действующих на точку С, равна SFi = F1 ≠ 0.

Схема сил на рис. 2.7, в получена путем параллельного переноса суммарного вектора внешних сил из конечного Fвн.к в начальное положение Fвн.н на бесконечно малой дуге перемещения. Откуда видно, что центростремительная сила является результирующей действия внешних сил, т.е. эквивалентна одной центральной силе Fцс, вызывающей движение тела по окружности.

Для материальной точки С система уравнений (2.6)–(2.8) принимают следующий вид:

(2.9)

(2.10)

При переходе к одной центральной силе соотношения (2.9), (2.10) можно записать в следующем виде:

(2.11)

где Fc ≡ Fцс, а ускорение определяется как

(2.12)

Таким образом, теорема о движении центра масс позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы [50].

Движение точки С по дуге DE моделируется кусочно-линейной траекторией DKE, которая на бесконечно малом отрезке времени стягивается в дугу (рис. 2.8). Тогда

То есть DK и KE – суммарные проекции на оси OX и OY элементарных линейных перемещений соответственно.

Так как проекции центральной силы Fcx и Fcy – переменные величины (рис. 2.8), то точка С перемещается по суммарным отрезкам DK и KE с переменным ускорением

ax = a sin φ; ay = a cos φ,

где j – угловое перемещений точки С.

В первом приближении ускорение (следовательно, и сила) на суммарных отрезках DK и KE рассчитывается как средняя величина.

Тогда под действием проекции силы Fcx центр масс перемещается равноускоренно по отрезку DK с отрицательным ускорением, а под действием проекции силы Fcy центр масс перемещается равноускоренно по отрезку KE с положительным
ускорением.

Кусочно-линейная модель позволяет свести динамическую задачу, описываемую соотношениями (2.6)–(2.8) к задаче прямолинейного равноускоренного движения точки под действием проекций центральной силы.

Рис. 2.8. Схема движения центра масс

4. В соответствии с положениями механики приращение кинетической энергии частицы dK на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил dA, действующих на частицу на том же перемещении [51]

ΔK = ΔA. (2.13)

Соотношение (2.13) справедливо в инерциальной и неинерциальной системах координат [51].

Причем

Тогда для прямолинейного и равноускоренного перемещения материальной точки С по суммарным отрезкам DK и KE (рис. 2.8) можно записать соотношения

(2.14)

где r = OD = DK = KE (для точки С – центра масс, так как точка не вращается);
ax, ay, Vx, Vy – средние значения проекций ускорения и скорости. При этом результирующие значения работы и энергии на дуге DE равны нулю, что не противоречит исходным данным.

Поскольку , то базовая формула расчета среднего значения центростремительного ускорения для точки С – центра масс, которое определяет движение тела по суммарным отрезкам DK и KE, имеет вид

(2.15)

Формула (2.15) согласуется с известным соотношением для равноускоренного прямолинейного движения по суммарным отрезкам DK и KE, когда начальная (или конечная) скорость равна нулю

или

где S = DK = KE = r; Vср – средняя скорость на рассматриваемом отрезке.

5. При моделировании движения центра масс тела – точки С – по окружности (в частности, по дуге DE) кусочно-линейной суммарной траекторией DKE, которая в пределе стягивается в дугу DE ускорение определяется по соотношению (2.15). Проекции скоростей на оси координат изменяются следующим образом (рис. 2.8):

1) при перемещении из точки D в точку K под действием силы Fcx проекция Vx изменяется от Vmax до 0, а проекция Vy = 0;

2) в точке K скорость равна нулю: Vx = 0; Vy = 0, изменяется направление движения за счет вращения тела, Vmin = 0;

3) при перемещении из точки K в точку E под действием силы Fcy проекция Vx = 0, а проекция Vy изменяется от 0 до Vmax.

Так, на суммарном отрезке DK абсолютная скорость Vабс = Vx и изменяется
от Vmax до 0, а на суммарном отрезке KE абсолютная скорость Vабс = Vy и изменяется от 0 до Vmax.

Таким образом, определена динамика движения по окружности точки С, которая определяет движение всего тела – шара, но не учитывает его вращение.

Кроме того, определены экстремальные значения скорости Vmax и Vmin.

6. При переходе от движения точки С к движению шара в целом, эпюры скоростей показаны на рис. 2.9, а–в.

а б в

Рис. 2.9. Эпюры скоростей

В частности, для вращательной части движения шара эпюра скоростей представлена рис. 2.9, в.

Для кинематического анализа сложного движения шара и определения среднего значения ускорения (а следовательно, и скорости) используется теорема Шаля: всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения в другое за время ∆t может быть осуществлено посредством поступательного его перемещения, равного перемещению некоторой точки тела и повороту около этой точки (рис. 2.10) [52]. Причем вращение тела вокруг неподвижной точки можно свести к рассмотрению движения двух точек [52], например, точек А и В.

В качестве «некоторой точки», т.е. полюса принимается точка В. Если рассматривать движение тела по составляющим на некотором малом участке В1В2 (рис. 2.10), то вследствие сложения векторов линейная скорость V1 в точке А будет больше, чем V2 в точке В (рис. 2.9, а, б)

V1 = ; V2 = Vорб – Vвр. (2.16)

Для вращательной части движения при перемещении из точки в точку А2 (рис. 2.10) имеет место соотношение

(Vорб + Vвр) – (Vорб – Vвр) = 2Vвр.

В соответствии с теоремой Шаля схема модели перемещения точек А и В по окружности с радиусом OD показана на рис. 2.11.

Из рис. 2.11 видно, что из точки В1 в точку В3 полюс В перемещается поступательно по линейным отрезкам В1В2 и В2В3.

Рис. 2.10. Схема к теореме Шаля

Рис. 2.11. Схема движения шара с диаметром АВ

В свою очередь точка А перемещается из т. А1 в т. А3, имея две составляющие движения: поступательную на линейных отрезках , и вращательную –
по дугам и .

Это означает, что для т. А в соответствии с принятой моделью вращательная часть движения совершается с радиусом кривизны, равным АВ.

При переходе от движения материальной точки С – к движению объемного тела (шар с диаметром АВ, который движется как показано на рис. 2.11), максимальное значение скорости т. А (когда центр масс шара находится в точке D на рис. 2.8) определяется по соотношению

Vmax = Vабс = Vx = Vорб + 2Vвр, (2.17)

а минимальная скорость будет определяться положением полюса в т. В2 и равна нулю Vmin = 0 (рис. 2.11).

Необходимо отметить, что все точки, принадлежащие окружности с диаметром АВ при сложном движении, проходят через экстремальные точки А и В.

Результатом такого моделирования является средняя по модулю скорость Vабс = const, что не противоречит положению о равномерном движении по окружности.

Тогда скорость V произвольной точки тела на окружности диаметром АВ определяется как среднее значение Vmax и Vmin, т.е. при Vmin = 0

Vср = 0,5∙(Vорб + 2Vвр). (2.18)

Таким образом, в соответствии с разработанной моделью, определен радиус кривизны вращательной части движения шара, равный диаметру АВ. Кроме того, определены экстремальные значения скоростей, которые имеют место на окружности с диаметром АВ.

Экстремальные значения скоростей позволяют найти интеграл функции ускорения (скорости) или в простейшем случае – среднее значение ускорения (скорости) в произвольной точке, принадлежащей поверхности шара с диаметром АВ.

Анализ адекватности модели

Адекватность модели подтверждается сравнением результатов расчета с экспериментальными (справочными) данными на следующих примерах.

Пример 1

Рассматривается движение планеты Земля вокруг Солнца в инерциальной гелиоцентрической системе координат XOY из точки D в точку Е (рис. 2.8) с дополнительными допущениями.

1. Рассматривается движение по окружности с радиусом r = OD (рис. 2.8).

2. Тело движется плоскопараллельно из т. D в т. E по эквипотенциальной траектории, т.е. в однородном поле гравитации.

3. На Землю воздействует внешняя центростремительная сила, т.е. имеет место соотношение (2.15).

Тогда в соответствии с разработанной моделью поступательного движения вращающегося тела центростремительное ускорение на поверхности Земли определяется по соотношению (2.15) с учетом (2.18) и результат расчета принимает вид

(2.19)

где D = 2R = 12,744⋅103 км, R – средний радиус Земли, Vорб = 30 км/с, Vвр = 0,8 км/с.

Справочное значение ускорения силы тяжести 9,80 м/с2. Расхождение определения ускорения силы тяжести по сравнению со справочным значением составляет – 0,15 %.

На основе разработанной модели рассчитывается и гравитационная постоянная, по формуле, приведенной в работе [27]

(2.20)

где G – гравитационная постоянная; M – масса Земли; x = R – rэ; rэ = 4,70⋅106 – эксцентриситет вращения Земли [27].

Справочное значение гравитационной постоянной 6,67⋅10–11 Н·м2/кг2. Размерность м3/кг⋅с2 тождественна Н·м2/кг2. Расхождение определения гравитационной постоянной по сравнению со справочной величиной составляет 0,57 %.

Пример 2

Рассматривается движение Луны вокруг Земли в той же системе координат.

В соответствии с разработанной моделью центростремительное ускорение на поверхности Луны определяется по соотношению (2.20)

где D = 384⋅106 м – среднее расстояние от Луны до Земли, Vорб = 1⋅103 м/с,
Vвр = 4,6 + 30⋅103 ≈ 30⋅103 м/с – экстремальное значение скорости при совпадении вектора скорости вращения Луны с вектором орбитальной скорости Земли.

Ускорение силы тяжести на Луне, определенное по закону всемирного тяготения составляет

где Mл – масса Луны; Rл – радиус Луны [53]. Расхождение составляет 19 %.

Удовлетворительная сходимость результатов расчета ускорения силы тяжести и гравитационной постоянной с экспериментальными данными подтверждают адекватность модели.

Разработанная модель позволяет объяснить гироскопический эффект.

Вследствие совместного переносного и относительного (орбитального и вращательного) движения ротора возникает центростремительная сила, которая обеспечивает устойчивость гироскопа к внешним воздействиям. В частности, не дает ему упасть под действием силы тяжести mg (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Схема прецессии гироскопа [28]

Ориентация ротора ГТД в соответствии с направлением векторов внешних сил позволяет изменить величину суммарного вектора внешних сил и уменьшить нагрузку на двигатель.

Одним из частных случаев реализации предлагаемой модели, применительно к ГТД, является использование ориентации ротора двигателя и летательного аппарата с целью снижения внешних нагрузок.

Например, можно расположить летательный аппарат в соответствии с направлением векторов скоростей Vорб, Vвр так, чтобы центростремительное ускорение, возникающее вследствие вращения ротора ГТД, было направлено в противоположную сторону ускорения силы тяжести. В результате получим уменьшение величины силы тяжести, действующей на летательный аппарат. Необходимо отметить, что величина изменения веса серийного двигателя в этом случае составляет порядка нескольких десятков ньютонов.

Результаты расчета коэффициента G1 и ускорения силы тяжести g1 для Земли приведены в табл. 2.1. Величины центростремительной и центробежной сил определяются для тела массой 80 кг.

Из табл. 2.1 видно, в частности, что результаты расчета для Земли удовлетворительно сходятся со справочными данными, что подтверждает адекватность модели. Гравитация проявляется превышением центростремительной силы над центробежной.

Таблица 2.1

Результаты расчета и справочные данные

Обозначение параметра, размерность	Величина параметра		Расхождение, %
	расчетная	справочная
G1, Н·м2/кг2	6,71⋅1011	6,67⋅1011	0,57
g1, м/с2	9,79	9,80	–0,15
Fc, Н	783,3	784,0	0,4
Fц, Н	780,3	–	–

Результаты расчета коэффициента G2 и ускорения силы тяжести g2 для Луны приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Результаты расчета и справочные данные

Обозначение параметра, размерность	Величина параметра		Расхождение, %
	расчетная	справочная
G2⋅1011, Нм2/кг2	5,60	6,67	16
g2, м/с2	1,31	1,62	19

Из таблицы видно, в частности, что результаты расчета для Луны имеют расхождение 16 и 19 %. Однако, если рассчитать ускорение силы тяжести с учетом расчетного значения коэффициента G2 для Луны, то расхождение снижается с 19 до 3 %.

Исходя из вышеизложенного, можно заключить:

1. Применение разработанной модели силы тяжести позволяет заложить основу:

– для увеличения подъемной силы летательного аппарата за счет соответствующей ориентации векторов действующих сил;

– объяснения физической сущности гироскопического эффекта;

– объяснения физической сущности самоцентрирования ротора на сверхкритических скоростях вращения.

2. Масса, сосредоточенная в центре вращения, не является причиной притяжения (гравитации), масса есть результат действия центростремительной силы (центростремительного ускорения).

3. Гравитация имеет место при Fc > Fц. Антигравитация имеет место при Fc < Fц, то есть определяются соотношением центростремительной и центробежной сил.