Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
ВВЕДЕНИЕ
Одна из основных проблем моделирования сложных систем заключается в том, что такие системы являются гибридными. Например, энергетическая система, при моделировании представляют собой совокупность различных линеаризованных, нелинейных, цифровых и импульсных элементов, и при их описании используется математический аппарат анализа аналоговых и цифровых систем. Для моделирования совместной работы цифровых и непрерывных звеньев систем можно применить метод моделирования, использующий дискретизацию непрерывных процессов. Кроме того, для моделирования электротехнических и электронных устройств широко применяются схемы замещения. Использование схем замещения и методов цифрового моделирования позволяет привести математические модели всех элементов сложных систем к единой форме, обеспечить моделирование преобразования сигналов на едином языке, создать единую модель системы в реальном режиме времени, а также формализовать процесс проектирования цифровых устройств по аналоговым моделям. В развитие теории цифрового моделирования внесли существенный вклад отечественные и зарубежные ученые: Я.З. Цыпкин, Л.Т. Кузин, Э.И. Джури, Ю.Т Ту, Б. Куо, К. Острем, В.П. Шипилло, А.Н. Шилин и др.
В монографии представлены: методы моделирования динамических характеристик аналоговых, импульсных и цифровых систем, основанные на использовании математического аппарата z-преобразования; результаты анализа устойчивости и точности цифрового моделирования в зависимости от параметров моделей, позволяющие обоснованно выбирать метод моделирования и параметры численной модели для конкретной задачи. В работе показаны методики цифрового моделирования аналоговых электротехнических устройств, представленных линейными моделями с сосредоточенными и распределенными параметрами, с коммутирующими элементами, а также нелинейными моделями.
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЦИФРОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ систем
В настоящее время для анализа динамических характеристик электротехнических и электронных устройств используются различные методы расчета, которые можно разделить на аналитические и численные. Аналитические методы позволяют получить решение в виде функций времени, которые удобны для анализа и соответственно выбора оптимальных параметров. К аналитическим методам относятся классический и операторный методы расчета. Классический метод основан на решении дифференциальных уравнений. При решении задач классическим методом для определения постоянных интегрирования необходимо дополнительное решение систем алгебраических уравнений, причем нулевые начальные условия не приводят к упрощению решения. При вычислении корней характеристического уравнения также необходимо решение алгебраического уравнения, причем известно, что аналитически могут быть вычислены корни уравнений не выше третьей степени. Кроме того, при использовании этого метода неизвестная функция не может быть вычислена независимо от остальных функций системы дифференциальных уравнений.
В операторном методе расчета, основанном на преобразовании Лапласа, начальные условия учитываются автоматически введением в схему замещения внутренних источников энергии, и при нулевых начальных условиях вычисления значительно упрощаются. Кроме того, при использовании этого метода каждая неизвестная функция может быть вычислена независимо от вычисления остальных неизвестных функций. Основным недостатком этого метода является трудоемкость операции перехода от изображения функции к ее оригиналу, а именно нахождение полюсов дробной рациональной функции изображения при максимальной степени выше третьей [7, 68].
В теории автоматического управления при анализе динамических свойств объектов в основном используется аппарат операционного исчисления, который позволяет представить исходные модели в виде соотношения вход-выход, то есть в виде произведения изображений Fвых(p) = K(p)Fвх(p), где Fвых(p) и Fвх(p) – изображения выходного и входного сигналов соответственно, K(p) – передаточная функция. Такое представление позволяет значительно упростить анализ, а именно операция свертки функции во временной области заменяется произведением в области изображений. Операторный метод позволяет исключить одну из сложных операций классического метода, а именно определение постоянных интегрирования. Кроме того, применение операционного исчисления позволяет использовать для анализа систем аппарат теории сигнальных графов. Граф системы или диаграмма состояния позволяет формализовать процесс получения структурных схем системы и алгоритмов решения задачи [28]. Однако аппарат операционного исчисления применим для описания только линейных систем.
В настоящее время известны численные методы обратного преобразования Лапласа, не связанные с вычислением полюсов и вычетов функции изображения [16, 21]. В данных методах используется аппроксимация экспоненциальной функции в подынтегральном выражении обратного преобразования Лапласа. В одном из методов аппроксимирующая функция представляет собой отношение полиномов (аппроксимация Паде) [16]. Однако для определения их коэффициентов необходимо дополнительно решать систему алгебраических уравнений. Описанный в источнике [16] метод непригоден для периодических воздействий, ошибка метода увеличивается с увеличением времени. Алгоритмы, реализующие методы обратного преобразования Лапласа, являются громоздкими, и при их использовании возможно появление значительных погрешностей.
Стандартные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений основаны на рекуррентной процедуре пошагового расчета процесса, причем их точность и счетная устойчивость определяются принятой разностной схемой моделирования непрерывного процесса и выбранным шагом изменения аргумента. Все стандартные методы численного интегрирования требуют сведения исходного дифференциального уравнения n-го порядка относительно переменной х(t) к системе n уравнений первого порядка в форме Коши путем введения дополнительных (n – 1) переменных (первой и высших производных х(t)). При этом правая часть уравнения, которая в общем случае может содержать не только управляющий сигнал, но и его производные, записывается суммарно в виде некоторой заданной функции. Эти методы достаточно трудоемки, поскольку первоначально составляется система дифференциальных уравнений, а затем осуществляется ее дискретизация и решение алгебраических уравнений.
В настоящее время в качестве средства моделирования широко используются пакеты математических программ, таких как MathLab, MathCad, Mathematica, Maple и другие. Данные программы позволяют решать широкий круг задач, однако при их использовании невозможно предварительно оценить погрешность моделирования, так как в описании этих программ часто не приводятся используемые методы численного моделирования, области применения [27, 65]. Поскольку эти программы универсальны, то для сложных технических объектов не всегда могут быть использованы, а в цифровых системах управления в реальном времени они вообще не применимы.
Теоретической основой компьютерного моделирования импульсных и цифровых систем, электрических цепей с коммутирующими устройствами и различных полупроводниковых преобразователей является z-преобразование (преобразование Лорана) [23, 37, 95]. Аппарат теории z-преобразования включает в себя анализ в области z-изображений и переход к временным функциям с помощью теоремы обращения. Наиболее важным свойством z-преобразования является возможность нахождения оригинала функции способом, не связанным с вычислением полюсов дробно-рациональной функции изображения. По диаграмме состояния системы могут быть получены уравнения пространства состояния. Этот метод прост для реализации на ЭВМ. Кроме того, в монографии Шипилло В.П. [95] показана возможность использования аппарата z-преобразования для моделирования нелинейных, не стационарных систем, систем с параметрическими связями, а в работе Каганова З.Г. [31] указано на перспективность данного метода для анализа линий с распределенными параметрами.