Научная электронная библиотека

ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ

Шилин А Н, Крутякова О А,

2.3. Анализ чувствительности к устойчивости различных z-форм

Из анализа комфортных отображений следует, что для всех z-форм наиболее неблагоприятной областью на p-плоскости является область вблизи точки (0; 0), так как при этих значениях частоты и коэффициента затухания модуль равен 1. В предельной точке (1; 0) на z-плоскости все методы не имеют запаса по устойчивости.

Определим чувствительность z-форм по выражениям для областей на границе устойчивости:

(2.20)

Определим для каждого метода:

прямая разность:

(2.21)

обратная разность:

(2.22)

метод Тустена:

(2.23)

В связи с громоздкостью выражения (2.18) аналитическое определение предела затруднено, и поэтому, в случае необходимости, для конкретной задачи определяется его численное значение с помощью известных пакетов математических программ.

Проведем исследование скорости изменения модуля z при изменении частоты для каждого метода. Предварительно на основе выражений для модулей z получим графические зависимости модуля каждой z-формы от приведенной частоты ω′ при различных значениях приведенного коэффициента затухания α′, а затем скорость изменения модулей. На рис. 2.6 а, б представлены зависимости и для метода прямой разности; на рис. 2.7 а, б – для метода обратной разности; на рис. 2.8 а, б – для метода трапеций; на рис. 2.9 а, б – для метода преобразования без потерь при следующих значениях α’: для графика 1 – α’ = –0,1; для графика 2 – α’ = –0,5; для графика 3 – α’ = –0,9.

а б

Рис. 2.6. Зависимости:
а – ; б – для прямой разности

а б

Рис. 2.7. Зависимости:
а – ; б – обратной разности

а б

Рис. 2.8. Зависимости:
а – ; б – для метода трапеций

а б

Рис. 2.9. Зависимости:
а – ; б – для преобразования без потерь

На основе анализа полученных графических зависимостей следует, что наиболее чувствителен к неустойчивости метод прямой разности, а наибольшим запасом по устойчивости обладает метод обратной разности в исследуемом диапазоне частот. Из сравнения графиков для метода трапеций и метода преобразования без потерь, которые имеют практически одинаковые отображения областей устойчивости вблизи , следует, что наилучшим запасом по устойчивости обладает метод преобразования без потерь, поскольку в диапазоне исследуемых частот графические зависимости расположены на более далеком расстоянии от и существует больший запас по сравнению с методом трапеций. Кроме того, анализ графиков показывает, что скорость изменения при ω′ → 0 в методе преобразования без потерь практически постоянна и меньше, чем у других методов.