Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПРИМЕНЕНИЕ ИННОВАЦИЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Звездина М. Ю.,

4.4. Вычисление эффективных значений проницаемостей

4.4.1. При проведении исследований влияния аномальных свойств метаматериалов на характеристики направленности и характеристики согласования антенн обычно осуществляется переход от конструктивных параметров метаматериалов к эффективным значениям относительной диэлектрической и относительной магнитной проницаемостей. Данный переход возможен, если размер включений, входящих в состав композита, мал по сравнению с длиной волны. Приведём наиболее известные соотношения для данных пересчётов.

Для материалов типа ENG, конструкция которых показана на рис. 4.9,а, величина относительной диэлектрической проницаемости определяется соотношением [4.1]:

(4.1)

где (4.2)

с = 3·108 м/с – скорость света в вакууме; a – интервал между проводниками; r – радиус проводника.

Частотная зависимость µ(ω) для материалов типа MNG определяется формулой, аналогичной соотношению (4.1):

(4.3)

где ωpm – плазменная частота для MNG.

Для круглого цилиндра, показанного на рис. 4.3,а, в вакууме с сечением в виде двойного разрезного кольца в пренебрежении толщины стенок справедливо следующее выражением [4.4, 45.6]:

(4.4)

где a – длина ячейки; σ – электрическая проводимость стенок цилиндров; d – зазор между разрезными кольцами в поперечном сечении; r – внутренний радиус меньшего из колец.

Резонансная частота данного элемент, при которой μэфф → ∞, определяемая из условия равенства нулю знаменателя выражения (4.4) и в отсутствии потерь (σ = 0), равна [4.4, 4.6]:

(4.5а)

Величина плазменной частоты, полученная из (4.4) при условии σ = 0 и μэфф → ∞, определяется формулой [4.4, 4.6]:

(4.5б)

Учитывая соотношения (4.4) и (4.5а), можно записать:

μэфф < 0 при ω0m < ω < ωpm. (4.6)

В случае использования рулетного элемента, показанного на рис. 4.10,а, эффективная магнитная проницаемость будет определяться соотношением [4.4]:

(4.7)

где d – толщина изолятора между витками в структуре; N – число витков; ρ – сопротивление катушки на единицу длины; r – внешний радиус рулета; i – мнимая единица.

Следует отметить, что соотношения (4.1) и (4.3) являются частными случаями моделей Друде (Drude) и Лорентца (Lorentz) [4.4]:

(4.8)

(4.9)

где ω0 = 2πf0 – циклическая частота резонанса покрытия [рад/с]; ωep, ωmp – плазменные частоты соответственно электрической и магнитной плазмы [рад/с]; γe, γm – частоты, описывающие затухание в электрической и магнитной плазме [Гц].

Для анализа зависимостей (4.8) и (4.9) используем пример из [4.37] для следующих исходных данных: ω0/2π = 21 ГГц; ωep/2π = 28 ГГц; ωmp/2π = 24,5 ГГц; γe = 0 ГГц; γm = 4 ГГц. Результаты моделирования приведены на рис. 4.11. При этом левое поле иллюстрирует дисперсионные зависимости относительной диэлектрической проницаемости, а правое поле – относительной магнитной проницаемости.

Рис. 4.11. Частотная зависимость относительных проницаемостей метаматериалов по модели Друде и модели Лорентца: левое поле – модель Друде: сплошная линия – ; штриховая линия – ; правое поле рисунка – модель Лорентца: сплошная линия – ; штриховая линия ; пунктирная – при замене параметров магнитной среды на электрическую

Анализ приведенных зависимостей показывает, что модель Друде может быть использована для моделирования отрицательных значений как относительной диэлектрической проницаемости, так и относительной магнитной проницаемости при f > f0. Для моделирования работы покрытия с изменением знака величины проницаемости необходимо использовать модель Лорентца. В этом случае на частотах f < f0 знак проницаемости будет положительный, а при f > f0 – отрицательный.

4.4.2. Для расчета параметров ячейки Hi-Z структуры, показанной на рис. 4.12, могут быть использованы соотношения из [4.3, 4.4], зависящие от поляризации падающей волны:

(4.10а)

(4.10б)

(4.12)

где ω = 2πf – циклическая частота излучателя, функционирующего на частоте f; ε0 = (36π)–1·10–9 [Ф/м] – электрическая постоянная; μ0 = 4π·10–7 [Гн/м] – магнитная постоянная; – эффективная проницаемость двух сред (ниже линии пластинок и выше линии пластинок); t2 – удаление нижней пластины от металлической подложки; θi – угол падения волны; TM, TE – поляризация падающих волн.

Рис. 4.12. Геометрия ячейки Hi-Z структуры

При выполнении покрытия в виде многослойного появляются еще два параметра:

L = μ0μt2; C = ε0εSd–1, (4.13)

где t2 – удаление нижней пластины от металлической подложки; S – перекрываемая пластинами площадь; d = t1 – t2 – расстояние по вертикали между пластинами.

Основным параметром, с помощью которого описываются свойства высокоимпедансных структур, является коэффициент отражения, который может быть найден с использованием соотношения [4.2–4.6, 4.16–4.19]:

(4.14)

где – резонансная частота Hi-Z структуры; [Ом] – характеристическое сопротивление LC-цепи; μr – относительная магнитная проницаемость материала заполнения покрытия.

Для металлических поверхностей (верхняя часть Hi-Z структуры) модуль коэффициента отражения равен единице. В связи с этим основным параметром высокоимпедансной структуры является фаза коэффициента отражения, изменяющаяся в интервале ±π/2 [4.2–4.6, 4.16–4.19], а также связанная с ним величина рабочего диапазона частот, определяемая соотношением:

(4.15)

где fu – верхняя частота, при которой фаза коэффициента отражения равна –π/2; fl – нижняя частота, при которой фаза равна +π/2.

Величина рабочего диапазона частот связана с параметрами высокоимпедансного экрана выражением [4.2]:

(4.16)

где λres = 2πc/ω0 – длина волны на резонансной частоте Hi-Z структуры.

Во многих случаях при проведении расчетов структуры электромагнитного поля антенны целесообразно перейти от непосредственно параметров LC-контуров ячеек, образующих высокоимпедансную структуру, к понятию величины поверхностного импеданса покрытия в целом [4.26, 4.31–4.34]. Такой переход обусловлен тем, что при расчете характеристик направленности антенны информация о структуре электромагнитного поля внутри высокоимпедансного покрытия не используется, поскольку требуется знание распределения поля на верхней поверхности покрытия. Для вычисления величины поверхностного импеданса для рассматриваемой структуры при таком подходе используется соотношение [4.3]:

(4.17)

Анализ соотношения (4.17) показывает, что оно образовано при учете электрических параметров LC-контура ячеек. Кроме того, несложно заметить, что в области частот, меньших резонансной частоты , структура обладает поверхностным импедансом индуктивного характера, а в более высокочастотной области – импедансом емкостного типа. Данное явление иллюстрируется на рис. 4.13, на котором приведена логарифмическая зависимость величины модуля нормированного поверхностного импеданса (где W0 = 120π Ом – волновое сопротивление свободного пространства) вблизи точки резонанса от нормированного значения частоты В выделенном окне показано изменение знака поверхностного импеданса при пересечении частотной границы резонанса .

Рис. 4.13. Частотная зависимость нормированной величины поверхностного импеданса вблизи резонансной частоты Hi-Z структуры

Нижняя и верхняя границы частотной области, в которой прекращается распространение поверхностных волн (области отсечки), могут быть определены двумя способами. Во-первых, аналитической зависимостью [4.2–4.4]:

(4.17)

где – относительная рабочая полоса частот зоны отсечки; верхний знак соответствует нижней границе, а нижний – верхней границе. Во-вторых, на основании изменения фазы коэффициента отражения в частотном диапазоне. Фаза коэффициента отражения (или просто фаза отражения по терминологии [4.3]) в общем случае определяется экспериментально. Для частного случая квадратной формы пластины данный параметр может быть найден по расчетной формуле [4.2–4.4]:

(4.18)

где a = 4π2W0LC; b = 2πL – конструктивные параметры покрытия; Im(∙) – процедура выделения мнимой части комплексного числа. График зависимости фазы отражения для данного случая приведен на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Зависимость фазы отражения от частоты: 1 – нерабочие области структуры; 2 – рабочая область структуры (область отсечки)

При анализе данного рисунка несложно заметить, что при частотах намного меньших резонансной структура соответствует обычным плоским металлическим поверхностям, для которых фаза коэффициента отражения равна π. На частотах намного превышающих резонансную структура подобна ёмкостному экрану (фаза отражения составляет величину –π). Значение фазы 0° соответствует резонансной частоте, а область отсечки поверхностных волн совпадает с частотным диапазоном, в котором фаза изменяется в интервале от +90° до –90°.