Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
6.3. Математическая модель задачи оценки состояния радиотехнического комплекса
Пусть многомерный вектор технического состояния x(t) ∈ Rr исследуемого радиотехнического комплекса можно описать стохастическим дифференциальным уравнением
x(t0) = x0, (6.2)
где 
– нестохастические функции, удовлетворяющие условию Липшица
, L > 0;
nф(t) ∈ Rr – нормальный белый (гауссовский) шум с статистическими характеристиками: M[nф(t)] = 0; 
Nф – спектральная плотность шума.
Считая отказом радиотехнического комплекса выход хотя бы одного параметра его функционирования xi(t), 
, за границу области допусков GД,i ⊂ R1, то показателем безотказной работы будет вероятность U(x, s) не выхода процесса из этой области:
GД ⊂ Rr, (6.3)
где U(x, s) – вероятность невыхода процесс x(t) за границы допустимой области GД = GД,1×GД,2× ... ×GД,r на интервале [s, T] при условии, что в начале исследования он находился в пределах допустимой области GД.
Для r = 1, (скалярный случай) вероятность U(x, s) является аргументом дифференциального уравнения в частных производных
(6.4)
при начальном условии U(x, T) = 1. После замены переменных t = T – s, уравнение (6.4) примет вид
U(x, t0) = 1. (6.5)
Очевидно, что прямому (второму) уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова удовлетворяет также плотность вероятности p(x, t):
p(x, t0) = p0(x). (6.6)
В реальных условиях эксплуатации радиотехнического комплекса требуется синтезировать решения уравнений (6.4)–(6.6) для случая функциональной зависимости исследуемого процесса от параметров 
(начальных и граничных условий, внешней среды, реальных условий функционирования радиотехнического комплекса, мгновенных воздействий и т.п.). К числу таких параметров относятся, например, константы, фигурирующие в начальных и граничных условиях, а также константы, от которых зависят коэффициенты сноса и диффузии исследуемых эволюционных уравнений. Границы задаются требованиями нормативных и эксплуатационных документов. Тогда
(6.7)
Уравнение (6.6) преобразуется в следующее:
p(x, ω, t0) = p0(x, ω). (6.8)
Математическая постановка задачи оценки технического состояния радиотехнических комплексов с использованием эволюционных моделей будет выглядеть следующим образом.
Исследуем в нормированном пространстве W0 диффузионное уравнение в частных производных для r-мерного марковского процесса x(t)
p(x, ω, t) ∈ W, x ∈ X ⊂ Rr, 
(6.9)
где 
– оператор уравнения (априорный или апостериорный). Вид оператора 
зависит от вещественного векторного параметра ω, значения которого находятся в ограниченной выпуклой области Ω ⊂ Rm.
Решение 
уравнения (6.9) для всех ω ∈ Ω ⊂ Rm ограничивается дополнительным условиям
, 
, (6.10)
где Γj – непрерывный линейный оператор, действующий в W; Si – многообразие в области 
, при этом, число его измерений меньше r + 1; ϕj(Si) – заданная функция, имеющая определение на многообразии Si.
Соотношение (6.10) определяется начальными и граничными условиями уравнения. Приближенное решение (6.9) запишем в следующем виде
, (6.11)
где 
– система линейных функций, которая образует базис в нормированном подпространстве 
; 
– коэффициенты решения уравнения (6.11). Для вычисления коэффициентов ci(ω) применяется метод, который позволяет получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:
ω ∈ Ω, (6.12)
где 
– матрица (бесконечномерная); 
– вектор-столбец (также бесконечномерный); 
– вектор-столбец искомых коэффициентов.
Таким образом, отыскание решения (6.11) заключается в решении бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (6.12). При этом требуется решить весьма сложную задачу преобразования бесконечной системы линейных алгебраических уравнений в конечную систему. Решение этой задачи обуславливает точность решения (6.9), а, следовательно, и точность оценки технического состояния радиотехнического комплекса.
Таким образом, проблема заключается в отыскании решений уравнения (6.9) при дополнительном условии (6.10) для дальнейшего использования в задачах оценки технического состояния радиотехнического комплекса. Решения уравнения (6.9) позволяют оценить параметрическую надежность радиотехнических в назначенных точках интервала времени, время достижения границ допустимой области, задать допуска и ограничения на параметры и так далее.
Параметрическая надежность комплекса как единой системы вычисляется при начальном условии U(x, ω, T) = 1 и поглощающих границах области допустимых значений. Если pT(x, ω, t) – плотность вероятности времени достижения границы допустимой области GД, то одномерные моменты времени пересечения процессом x(ω, t) границы этой области:
n = 1, 2, ...
В случае если определено значение параметрической надежности 
, время первого выхода характеристик объекта на границу области допустимых значений параметра можно отыскать путем численного решения уравнения
Для определения допусков и ограничений на параметры, характеризующих техническое состояние радиотехнического комплекса, необходимо при априори заданной вероятности нормального функционирования PНФ(ω) комплекса отыскать решение следующего уравнения
PНФ(ω) = p(x ∈ GД); PНФ(ω) = p(x ∈ GД).
Существующие в настоящее время системы контроля не обеспечивают реализацию алгоритмов оценки технического состояния и решения указанных выше уравнений. В связи с этим требуется создание принципиально новых систем контроля, основанных на диффузионных моделях.
Важнейший частный показатель качества оценки технического состояния радиотехнического комплекса – точность, которая определяется степенью совпадения результата оценки 
и действительных результатов измерений 
, выполненных в заданные моменты времени. Точность оценки характеризуется относительной погрешностью 
, которая в основном зависит от точности решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. При различных вариантах постановки задачи могут использоваться другие частные показатели качества, например, быстродействие (оперативность). Быстродействие целесообразно применять как частный показатель качества оценки состояния радиотехнического комплекса в условиях нештатной эксплуатации.