Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Возможности использования легкоплавких веществ для автоматической балансировки роторов

Козин В. М.,

2.1.Критические скорости и методы их расчетов

Одним из основных исходных параметров при разработке конструкции пассивного АБУ является величина критических скоростей вращения шпинделя, так как на докритических частотах большая их часть неработоспособна. После преодоления шпинделем критической скорости некоторые АБУ, например, жидкостные с отводными трубками и др. устраняют дисбаланс, а для других (маятниковых, шаровых и др.) для максимально эффективной балансировки необходимы более высокие скорости вращения. Для многих типов АБУ существуют оптимальные скорости балансировки и нечувствительные скорости, на которых балансировка невозможна. Таким образом, для разных типов АБУ характерна своя зависимость процесса балансировки от критических частот. Поэтому после определения типа АБУ вычисляются критические скорости с учетом всех конструктивных параметров шпинделя.

Расчетные методы определения критических частот колебаний разделяют на точные и приближенные. Недостатками первых является громоздкость, а иногда и невозможность вычислений частот с их помощью. Во многих задачах, особенно для валов с переменным по длине моментом инерции, более удобными считаются приближенные методы, допускающие некоторое упрощение вычислений с определенной погрешностью.

Энергетический метод [8, 23, 152]. Его сущность состоит в приравнивании наибольших значений потенциальной и кинетической энергий. Из этого условия определяется критическая частота колебаний шпинделя. Перед вычислением задаются линией колебаний шпинделя (одна волна синусоиды, две волны синусоиды или более сложная форма). Окончательная формула имеет следующий вид:

где: Y(x) – уравнение изогнутой оси шпинделя;

E – модуль упругости Юнга;

I – момент инерции шпинделя;

g - удельный вес материала шпинделя.

Метод Релея [8, 88]. Используется для определения критической скорости двухопорного шпинделя с n – кругами. Сущность метода заключается в нахождении статических прогибов под каждым из n кругов и вычислении по общей формуле критической скорости. При этом необходимо знать массу каждого круга. Частота колебаний первой формы определяется из уравнения:

где: x₁, x₂, … x_n – статические прогибы под соответствующим кругом;

m₁, m₂, … m_n – массы кругов, расположенных на шпинделе.

В данном способе можно учесть влияние жесткости опор. Для этого к статическим прогибам добавляют дополнительные смещения, вызванные осадкой опор под действием масс при условии, что жесткость опор одинакова во всех направлениях. Данная добавка уменьшает значение критической скорости.

Метод Б. Г. Галеркина [88]. В нем используется дифференциальное уравнение движения вала, которое для его изгибных колебаний с учетом переменности сечения имеет вид:

где: m(x) – закон распределения массы по длине балки;

y(x) = а₁φ₁(x) + а₂ φ₂(x) +…+ а_n φ_n (x) – форма колебаний (уравнение изогнутой оси вала);

j₁(x), j₂(x), … j_n(x) – система функций, каждая из которых удовлетворяет граничным условиям закрепления.

Практически для определения низшей собственной частоты колебаний можно воспользоваться одним членом ряда системы функций j(x). Для определения высших частот колебаний необходимо брать большее количество членов, но в этом случае решение получается в виде определителя системы, составление которой вызывает определенные затруднения.

Метод последовательных приближений (метод итераций) [8]. Он позволяет определить основную частоту колебаний для систем с конечным числом степеней свободы. В основе данного метода лежат уравнения малых колебаний, составленные в обратной форме.

Сначала задаются произвольной системой чисел, т.е. исходной формой колебаний, и теоретически вычисляют первое приближение для формы колебаний, используя исходную заданную форму.

где: l^m - амплитуда m-го приближения;

h – коэффициенты влияния.

Затем на основе найденного первого приближения вычисляют последующие.

При достаточно большом m отношение соответствующих амплитуд двух последовательных приближений стремятся к квадрату основной частоты:

Метод Дункерлея. По нему возможно вычислить первую критическую частоту шпинделя с несколькими кругами, зная частоты вращения шпинделя с каждым из кругов.

где: ω_кр1, ω_кр2,… ω_крn – низшие критические скорости шпинделя с 1-м кругом, со 2-м кругом и с n-м кругом;

ω_кр0 – частота собственных колебаний шпинделя без сосредоточенных масс.

Ниже приведены некоторые из точных методов, требующие более громоздкие вычисления.

Интегральный метод. Он предложен Биргером И.А. [130] и применяется в случаях, когда площадь поперечного сечения вала не постоянна т.е. по приближенным зависимостям невозможно определить критическую частоту вращения, так как массы шпинделя и кругов считаются распределенными. Шпиндель разбивается на несколько участков, каждый из которых имеет свой диаметр и загружен либо своим весом, либо внешней нагрузкой и собственным весом. Для расчета критической скорости строят зависимости распределенной нагрузки и момента от длины шпинделя.

Окончательное выражение имеет следующий вид:

где: y₍₁₎ – уравнение оси шпинделя, которое определяется методом последовательных приближений. Остальные коэффициенты в уравнении зависят либо от начальных условий и конструкции шпинделя, либо определяются условиями работы вала (нагрузкой).

Для расчета критической скорости для двухопорного шпинделя с одним кругом и разными до и после круга поперечными сечениями формула (2.5) примет вид:

где: m – масса круга;

I – момент инерции круга;

a, b, g - коэффициенты влияния, которые определяются по следующим зависимостям:

где:  l – длина шпинделя;

a – расстояние от левой опоры до круга;

b – расстояние от правой опоры до круга;

J₁, J₂ – моменты инерции левой и правой частей шпинделя.

Метод динамических жесткостей. Под динамической жесткостью понимают отношение внешнего периодически меняющегося усилия в роторной системе к деформации или перемещению [78, 88, 130]. При этом в процессе исследований поперечных колебаний динамическую жесткость разделяют на: силовую, моментную и смешанную.

Для выполнения расчетов шпиндель по всей его длине разбивают на характерные участки, для которых по известным формулам последовательно определяют все три вида жесткости при различных скоростях вращения. Данные для расчета конкретного сечения напрямую зависят от значений, полученных при расчете предыдущего. При расчете последнего сечения строят зависимости динамических жесткостей от частоты вращения. Данный способ позволяет учитывать прецессию шпинделя. Для этого задаются зависимостью  формой упругой линии шпинделя от его частоты вращения, что позволяет определить собственные частоты колебаний системы.

Метод динамических податливостей [32, 88]. Он используется в тех случаях, когда упругая система ''шпиндель – корпус'' совершает совместные колебания т.е. жесткость опор нельзя считать бесконечной. При этом способе колебания шпинделя в произвольной точке расписываются по формам собственных колебаний свободно плавающих шпинделей, к которым сводятся шпиндели при освобождении их от всех связей. Далее для системы ''шпиндель – корпус'' составляется матрица динамических податливостей. Перемещение i-го шпинделя (корпуса) в месте действия связи m определяется через динамические податливости e_i^mk (k – номер одной из связей, относящейся к данному шпинделю) по формуле:

где: n_il – число связей между i-м и l-м шпинделем или корпусами;

n_i – число шпинделей (корпусов), взаимодействующих с i-м шпинделем.

При этом матрица динамических податливостей будет иметь вид:

Номера i и j определяются в зависимости от схемы взаимного расположения системы ''шпиндель – корпус'' (см. выше). Под d ^m понимают статическую податливость m-ой связи опоры. На основании схемы определяются реакции всех связей, существующих в системе. Для определения собственных частот и форм связанных колебаний  шпинделя (корпуса) системы, решается уравнение:

det B (p) = 0,

являющееся частотным для системы шпинделей.

Метод начальных параметров [32, 151]. Применяется с использованием  ЭВМ, что позволяет определять спектр собственных частот и форм колебаний  и строить амплитудно-частотную характеристику системы. При этом перед расчетом шпиндель представляется в виде восьми типовых элементов: кругов; точечных масс; без массовых участков; отрезков валов или оболочек; ступенчатых переходов; упругих и жестких опор. Помимо этого учитываются краевые условия и условия закрепления. Матрица перехода участка шпинделя была принята в виде:

Матрицы составлялись для всех участков расчетной схемы из расчета, что параметры конца предыдущего участка являлись параметрами начала следующего.

Определение критической частоты производилось методом итераций. Задаваясь числовыми значениями, матрицы перехода составлялись для всех участков. Все участки шпинделя рассчитывались исходя из линейной зависимости друг от друга определяющих параметров. Частота выбиралась для условия, когда определитель второго порядка, составленный из коэффициентов однородных уравнений, был равен нулю.

Зависимость конструктивных параметров шпинделя (длины, массы, моментов инерции) от гироскопического момента определялась по формуле [32]:

где: w_кр0 – критическая скорость шпинделя с кругом без учета гироскопического момента;

e - отношение угловой скорости плоскости изогнутой оси вала к угловой скорости вала;

J_Д – момент инерции круга относительно его диаметра;

M – момент, действующий на вал;

e – прогиб вала.

Прямая синхронная прецессия e=1 возникает под действием неуравновешенности вала при любой частоте его вращения, поэтому при расчете необходимо определять критическую скорость для этого режима. Влияние гироскопического эффекта в основном зависит от радиуса инерции круга, места его расположения относительно опор и их жесткости. При увеличении радиуса инерции соответственно растет влияние гироскопического момента, поэтому начиная с некоторого значения радиуса инерции им пренебрегать нельзя. Гироскопический момент так же растет при закреплении круга вблизи жестких опор и уменьшается при расположении круга ближе к средине шпинделя и установке его на упругие опоры. Гироскопический момент изменяется пропорционально квадрату скорости и действует на вал таким образом, что  с ростом скорости он становится более жестким, при этом соответственно возрастает частота его собственных колебаний.

Отрицательная прецессия, редко возникающая при эксплуатации станков, возникает в условиях: полного отсутствия неуравновешенностей шпинделя (статической и моментной); малой крутильной жесткости вала и наличии возмущающей периодической силы, не вызванной неуравновешенностью; несимметричности шпинделя [8, 33]. В таких случаях расчет проводят для прямой синхронной прецессии, а другие виды прецессионного движения учитывают дополнительно при наличии условий для их возникновения.

Теоретические расчеты и опыт экспериментальных исследований [88] допускают некоторые расхождения в значениях критических скоростей, основной причиной которых является не учитывание жесткости опор в расчетных методах. Поскольку абсолютно жестких опор не существует, то критическую скорость можно рассчитывать по формуле:

где: m – масса вращающихся частей шпинделя;

c – жесткость шпинделя;

с₀ – жесткость упругих опор.

С учетом жесткости опор критические обороты системы понижаются примерно на 10 – 15%. Средние значения жесткости опор шпинделей металлообрабатывающих станков приведены в работе [88], а зависимости для их расчета –  в работах [87, 120, 121].

В случае вращения шпинделя на анизотропных опорах (при различной жесткости опор в двух взаимно перпендикулярных направлениях) характер балансировки значительно изменяется [96, 97].

При расчете роторной системы следует учитывать эффект Зоммерфельда [150], при котором в системе при определенных ее параметрах может установиться режим близкий к резонансному. Поэтому двигатель, выйдя на этот режим, не сможет преодолеть критическую скорость вследствие больших потерь мощности на колебания в резонансной области.