Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Горева Т. С., Портнягин Н. Н.,
2.1. Классификация математических моделей
Вейвлеты (от англ. wavelet), всплески – это математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Однако это частное определение – в общем случае анализ сигналов производится в плоскости вейвлет-коэффициентов (масштаб – время – уровень) (Scale-Time-Amplitude). Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени.
Вейвлеты стали широко применяться в технике обработки сигналов и изображений, в частности для компрессии их и очистки от шума. Были созданы интегральные микросхемы для вейвлет-обработки сигналов и изображений.
Существует несколько подходов к определению вейвлета: через масштабный фильтр, масштабную функцию, и вейвлет-функцию. Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости.
Преобразование Фурье – операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие – гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование Фурье используется во многих областях науки – в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain).
Термин «сигнал» применяется для обозначения любого упорядоченного набора численно зафиксированной информации о каком-либо процессе, объекте, функции и т.п. Под «анализом» сигнала имеется в виду не только его чисто математическое преобразование, но и получение на основе этого преобразования выводов о специфике соответствующего процесса или объекта [59, 79, 100].
Одним из методов многомасштабного анализа является вейвлет-анализ (от англ. «wave» – волна). Он используется уже более десятка лет и хорошо зарекомендовал себя в таких областях как архивация данных, медицина и биология (анализ интервалов сердцебиений, ЭКГ, последовательностей ДНК), анализ наблюдательных данных (метеорология, акустика, сейсмология) [54].
Принципиально новым методом многомасштабного анализа является структурная индексация. Её суть заключается в выявлении структурных особенностей сигналов для последующего анализа этих особенностей.
Классическое преобразование Фурье является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов. При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции простираются вдоль всей оси времени.
С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обладает временным разрешением.
ПФ даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а это – теоретическая абстракция. Обусловлено это тем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое колебание, которое математически определено на временном интервале от –∞ до +∞. ПФ не учитывает, что частота колебания может изменяться во времени. Локальные особенности сигнала (разрывы, ступеньки, пики и т.п.) дают едва заметные составляющие спектра, по которым обнаружить эти особенности, и тем более их место и характер, практически невозможно. В этом случае невозможно и точное восстановление сигнала из-за появления эффекта Гиббса. Для получения о сигнале высокочастотной информации с хорошей точностью следует извлекать её из относительно малых временных интервалов, а не из всего сигнала, а для низкочастотной спектральной информации – наоборот. Кроме того, на практике не все сигналы стационарны, а для нестационарных сигналов трудности ПФ возрастают многократно.
Часть указанных трудностей преодолевается при использовании оконного ПФ:
в котором применяется предварительная операция умножения сигнала S(t) на «окно» w(t – b); при этом окном является локальная во времени функция, перемещаемая вдоль оси времени t для вычисления ПФ в разных позициях b. В результате получается текущий спектр, т.е частотно-временное описание сигнала.
Очевидно, что поскольку каждое окно выделяет свой небольшой участок во времени, точность представления и разрешающая способность (по времени) могут быть повышены. Однако ввиду известного принципа неопределенности (∆ωτ = const) невозможно получить одновременно высокое разрешение и по частоте, и по времени. Окну с узкой шириной (τ) во времени будет соответствовать плохое разрешение по частоте (большая величина ∆ω).
Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования, которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.
Вейвлет-преобразование имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет-преобразования операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно. Появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.
Возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяется ошибку по всему восстанавливаемому сигналу.
Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехники, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники.
Сигналы питающего напряжения содержат разномасштабные локальные особенности. Относительная величина и временная протяженность таких особенностей зависит от природы возмущения.
Естественным и наиболее эффективным способом представления таких сигналов является построение нелинейных адаптивных аппроксимирующих схем на основе экстраполирующих фильтров. Инструментом, позволяющим реализовать такую процедуру для сигналов с подобными особенностями, является вейвлет-преобразование.
Сгенерируем модельный сигнал с помехами. Результаты обработки и анализа полученных модельных данных представлены на рис. 2.1–2.5 [11, 38].
Рис. 2.1. Модель Simulink, на основе ШИМ-инвертора
Рис. 2.2. Модельный сигнал с помехами
Рис. 2.3. Вейвлет спектрограмма сигнала в масштабном уровне, оттенками серого цвета показаны абсолютные значения вейвлет-коэффициентов
соответствующих масштабных уровней (значения масштабных уровней отмечены
на вертикальной оси, горизонтальная ось – ось времени),
более светлым оттенкам серого цвета соответствуют большие значения коэффициентов
Рис. 2.4.
а – исходный сигнал с помехой; б – локализация помехи на 3-м уровне вейвлет разложения;
в – Фурье спектрограмма сигнала
Полученные результаты моделирования, представленные на рис. 2.1–2.5, свидетельствуют о возможности локализации помех с помощью вейвлет спектрограмм, в то время как спектрограммы Фурье не выделяют обозначенных в круговых областях особенностей помех.
Поэтому при построении систем активного подавления влияния помех необходимо учитывать полученные модельные результаты, что очевидно приведет к усложнению структуры активных фильтров на алгоритмическом уровне, однако постоянно возрастающая производительность микропроцессорных систем позволяет надеяться на аппаратную реализацию методов вейвлет-преобразования.