Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Возможности использования легкоплавких веществ для автоматической балансировки роторов

Козин В. М.,

4.1.Математические зависимости для расчета параметров жидкостного АБУ, установленного на гибком шпинделе с жесткими опорами

Как показали экспериментальные исследования, при балансировке вблизи критической скорости полное уравновешивание шпинделя не происходило. Остаточный дисбаланс при увеличении скорости вращения от первой критической сначала уменьшался, а затем возрастал. Теоретические зависимости, приведенные в п. 2.3.1,противоречат этим экспериментальным данным. Из классической теории колебаний следует, что с учетом сил диссипации будет иметь место угол запаздывания ε (сдвиг фаз) между плоскостью отклонения шпинделя и плоскостью дисбаланса. Поэтому для расчетов гибких шпинделей с жидкостным АБУ на абсолютно жестких опорах были предложены переработанные математические зависимости, более полно описывающие закономерности процесса балансировки шпинделей с жидкостным АБУ.

Основным отличием разработанной модели от моделей, предложенных Гусаровым А.А. и Нестеренко В.П., являлся учет в системе дополнительных сил, действующих на шпиндель: сил трения, возникающих в результате контакта шпинделя с диском о воздух (внешнее трение), и сил трения жидкого вещества внутри балансировочной камеры (внутреннее трение). Шпиндель считался невесомым с упругостью c в радиальном направлении. Полагалось, что масса всей системы сосредоточена в центре масс диска (шлифовальном круге), масса легкоплавкого вещества внутри балансировочной камеры намного меньше массы всей системы, а диск закреплен посередине вала. Гироскопический момент не учитывался. Шпиндель вращался на закритической скорости при постоянной частоте вращения. Сила тяжести не учитывалась вследствие ее малости по отношению к центробежным силам при вращении шпинделя на реальных скоростях.

Рис 4.1. Поперечное сечение АБУ, установленного на гибком шпинделе с жесткими опорами

На рис. 4.1. показаны поперечное сечение балансировочной камеры при вращении шпинделя с закритической частотой вращения, расположение легкоплавкого вещества и действующие на него силы и моменты:

- сила инерции вращающегося шпинделя с шлифовальным кругом и балансировочной камерой ;

- равнодействующая сил инерции легкоплавкого вещества внутри балансировочной камеры  (силы  и  действуют в направлении противоположном прогибу шпинделя);

- сила упругости , стремящаяся уменьшить деформацию оси шпинделя по отношению к оси вращения, проходящей через центры подшипниковых опор;

- момент трения , зависящий от коэффициента сопротивления колебаниям n и скорости вращения (его направление противоположно направлению угловой скорости вращения шпинделя);

- вращающий момент   привода, совпадающий по направлению с угловой скоростью ω;

- сила инерции неуравновешенной массы  (источник дисбаланса), действующая под углом e по отношению к прогибу шпинделя.

Тогда согласно принципу Даламбера можно записать:

При проекции уравнения 4.1 на ось Х получим:

Как известно, сила инерции неуравновешенной массы зависит от начального дисбаланса шлифовального круга D (балансировочная камера и сам шпиндель полностью уравновешенны), а также от частоты вращения w следующим образом:

где: m – неуравновешенная масса на шлифовальном круге;

q – радиус вращения неуравновешенной массы.

Тогда зависимость для угла запаздывания можно записать в виде:

где n – коэффициент сопротивления колебаниям;

w_кр – критическая частота вращения;

w - текущая частота вращения.

Для определения коэффициента сопротивления колебаниям можно воспользоваться известной методикой [141], а критическую частоту вращения вычислить по зависимостям п. 2.1.

Изменение угла запаздывания ε в диапазоне от нуля до p определялось по зависимости:

Ее график, представленный на рис. 4.2., показывает зависимость угла запаздывания от различных коэффициентов сопротивления колебаниям (n₁ = 1 1/с; n₂ = 30 1/с; n₃ = 100 1/с, при ω_кр = 1000 1/с) и скоростей вращения шпинделя.

Рис. 4.2. Зависимость угла запаздывания ε от коэффициента сопротивления колебаниям n и относительной частоты вращения ω/ω_кр

Силы инерции легкоплавкого вещества и вращающихся частей шпинделя, а также сила упругости определялись из следующих уравнений:

где: M – масса вращающихся частей шпинделя (шлифовального круга и балансировочной камеры);

х – отклонение ГЦОИ шпинделя от оси вращения в месте крепления балансировочной камеры;

l – длина балансировочной камеры;

R – внешний радиус балансировочной камеры.

После подстановки уравнений (4.6) и (4.3) в (4.2) получим:

Откуда следует:

Дисбаланс, который создает легкоплавкое вещество, определялся из зависимости:

Остаточный дисбаланс шпинделя после балансировки  определялся по теореме косинусов:

Из зависимости (4.10) следует, что в системе после балансировки всегда будет присутствовать остаточный дисбаланс, так как сумма вектора полезного дисбаланса и дисбаланса, создаваемого неуравновешенной массой, не  будет равной нулю.