Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ

Шабанова М. В., Овчинникова Р. П., Ястребов А. В., Павлова М. А., Томилова А. Е., Форкунова Л. В., Удовенко Л. Н., Новоселова Н. Н., Фомина Н. И., Артемьева М. В., Ширикова Т. С., Безумова О. Л., Котова С. Н., Паршева В. В., Патронова Н. Н., Чиркова Л. Н., Тепляков В. В.,

1.2. Методология экспериментальной математики в высказываниях математиков и философов

В предыдущем параграфе мы привели множество примеров, доказывающих, что математике присущи не только теоретические, но и экспериментальные начала, так как экспериментальные методы использовались учеными на всем протяжении истории развития математической науки.

На значимость этих начал как для самой науки, так и для математического образования обращали внимание многие видные ученые (Ж. Адамар, Н. Бор [22], Г. Вейль, Д. Гильберт и др.). Приведем в доказательство весьма категоричное высказывание В.И. Арнольда: «Математика является экспериментальной наукой – частью теоретической физики и членом семейства естественных наук» [10, с. 28]. Этим высказыванием он хотел подчеркнуть пагубность как для развития математической науки, так и для математического образования разделение математики и физики, которое было предпринято в середине XX века и наиболее ярко проявилось в стиле работы научной группы Н. Бурбаки и в реформировании математического образования Франции [11]. В своем
выступлении «О преподавании математики» В.И. Арнольд привел примеры, доказывающие, что «непостижимая эффективность математики в естественных науках», о которой говорил Ю. Вигнер [25], наблюдается лишь тогда, когда не только математическая модель, но и исходные положения аксиоматических теорий, дедуктивные выводы получают экспериментальное подтверждение: «математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом). Не говоря уже об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляциями). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего – примерами), то уже через какой-нибудь десяток страниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в числители. Технология борьбы с подобными ошибками – такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить школьников младших классов» [11].

В трудах В.И. Арнольда не только много внимания уделено экспериментальным методам в математике, но фигурирует и интересующий нас термин «Экспериментальная математика» [12, 13]. Контексты использования данного термина свидетельствуют о том, что его смысловое значение В.И. Арнольд тесно связывал с широким использованием в решении математических проблем вычислительных (статистических) экспериментов.

Впервые термин «экспериментальная математика» был произнесен в России на открытии Уральского отделения Академии Наук СССР (решение о создании принято в 1969 г.). Первым его популяризатором выступал Н.Н. Красовский – директор института математики и механики УНЦ АН СССР (в период с 1970 по 1977 гг.), основоположник идей информатизации математического образования. Это объясняет, почему данный термин первоначально получил распространение в образовательной сфере (например, использовался в названии клуба, которым руководит Г.Б. Шабат с 1983 г. – «Клуб экспериментальной математики»).

Общественное признание и широкое распространение в научном мире данный термин получил лишь в последнее десятилетие XX века. Это связано с появлением программных пакетов для математической обработки данных (Maple, Mathematica, Mathcad и других). Они, существенно расширив возможности ученых в экспериментировании
с объектами математических исследований, оказали, по свидетельству основоположников данного направления Дж. Борвей и Д. Бейли (J. Borwein, D. Bailey) [111], существенное влияние на сам стиль математического мышления и вызвали парадигмальный сдвиг математической науки.

Дж. Борвей и Д. Бейли описали методологию экспериментальной математики, опираясь на собственный опыт исследований в этой области. Они отметили, что хоть эксперименты и использовались в математике всегда как основа интуитивных выводов, но в описании своих результатов математики, в отличие от физиков, химиков и представителей других естественных наук об их роли не упоминали: «All mathematicians build their intuition about problems and objects by looking at examples. When this intuition becomes strong enough, we know the result before we have a proof of it. And once we have the theorem we set about proving it. Arguably mathematics has been this way for a very long time; while it is different from other areas of knowledge in that it has the certainty of proof, as practitioners we are not immune from getting our hands a little dirty with some experimentation – though we are generally not willing to admit it and tend to hide it if possible»[3].

Решающим фактором изменения отношения математиков к экспериментам явилось появление в конце 70-х годов XX века автоматизированных систем научных исследований. Первоначально они использовались лишь для компьютерной поддержки проведения и обработки данных экспериментов в области химической технологии (институт им. М. Планка, ФРГ, 1968 г., центр научных исследований компании Du Pont, США, 1970 г.). Затем они стали быстро распространяться и на другие сферы научной деятельности, а также на другие этапы экспериментальных исследований. Это привело к возникновению понятия «компьютерного эксперимента». Под компьютерным экспериментом первоначально понимали модельный эксперимент, при котором объект исследования полностью моделируется в цифровом виде на ЭВМ. Главным отличием компьютерного эксперимента от экспериментов других видов является полное снятие задачи установления связи объекта
исследования с ЭВМ, что устраняло погрешности, связанные с влиянием случайных факторов. Благодаря этой особенности эксперимент, основанный на создании и экспериментировании с математической моделью объекта исследования, называется иногда «чистым экспериментом».

Появление компьютерных экспериментов сделало возможным не только включение описания экспериментов в математические публикации, но и представление результатов, способ формального доказательства которых пока неизвестен. Об этом свидетельствует обращение к авторам редколлегии журнала «Experimental Mathematics», который начал издаваться в Нью-Йорке в 1992 году. В нем говорится, что редколлегия в отборе статей опирается на следующие философские представления об экспериментальной математике: «Experimental Mathematics was founded in the belief that theory and experiment feed on each other, and that the mathematical community stands to benefit from a more complete exposure to the experimental process. The early sharing of insights increases the possibility that they will lead to theorems: An interesting conjecture is often formulated by a researcher who lacks the techniques to formalize a proof, while those who have the techniques at their fingertips have been looking elsewhere. Even when the person who had the initial insight goes on to find a proof, a discussion of the heuristic process can be of help, or at least of interest, to other researchers. There is value not only in the discovery itself, but also in the road that leads to it»[4]. Это позволяет принимать к публикации не только результаты, которые получены на основе экспериментов, но также и гипотезы, к выдвижению которых привели экспериментальные исследования в различных областях математики, описания самих экспериментов, результаты которых поддерживают выдвинутые ранее гипотезы, а также статьи, которые содержат описания алгоритмов и программного обеспечения для поддержки математических исследований.

Особое отношение к экспериментам – заметная, но не самая главная черта ученых, занимающихся экспериментальной математикой.

Специфичным является использование компьютерных экспериментов практически на всех этапах исследования: «To be precise, by experimental mathematics, we mean the methodology of doing mathematics that includes the use of computations for:

1. Gaining insight and intuition.

2. Discovering new patterns and relationships.

3. Using graphical displays to suggest underlying mathematical principles.

4. Testing and especially falsifying conjectures.

5. Exploring a possible result to see if it is worth formal proof.

6. Suggesting approaches for formal proof.

7. Replacing lengthy hand derivations with computer-based derivations.

8. Confirming analytically derived results»[5].

Одним из наиболее важных преимуществ экспериментального подхода является возможность уже на ранних этапах исследования исключить использование ложных гипотез (пункт 4). Одно компьютерное вычисление может уберечь ученого от напрасной траты времени и сил для поиска доказательства утверждения, полученного на основании ложных представлений. Что касается пункта 5, то математики в начале пути не имеют достаточного количества лемм (опорных утверждений) для проведения рассуждений, они должны в традиционных исследованиях на что-то опираться в своих выводах, для того, чтобы быть уверенными в том, что путь, по которому они идут, имеет смысл. Методы экспериментальной математики предоставляют им возможность поддерживать рассуждения на достаточно высоком уровне в отсутствии такой опоры. Затем уже они решают, заслуживает ли полученный ими результат поиска доказательства, создания поддерживающей его теории.

Центральной проблемой экспериментального подхода в математике является вопрос о допустимости привлечения компьютеров к проведению доказательств (пункт 7). Многие математики испытывают дискомфорт от появления в научных публикациях фраз: «доказано с использованием пакета Mathematica» или «установлено с применением пакета Maple». Однако такое использование компьютеров представляет уже своего рода тенденцию, противостоять которой не только довольно сложно, но и контрпродуктивно, по мнению Дж. Борвей и Д. Бейли.

Заявления о «компьютерных доказательствах» можно было бы понимать как достаточно вольные утверждения о том, что опубликованные результаты прошли проверку компьютерными экспериментами, были верифицированы, но не доказаны. Однако проблема состоит в том, что в математической науке стали накапливаться подобным образом проверенные, но не доказанные результаты, т.е. результаты, не подкрепленные описанием способа или программы формального доказательства. Первый прецедент создала теорема о четырех красках, для которой сегодня существует только компьютерное доказательство.

Первое компьютерное доказательство этой теоремы было представлено на суд научной общественности в 1976 году К. Аппелем (Kenneth Appel) и В. Хакеном (Wolfgang Haken) [105, 106]. И, как и следовало ожидать, навлекло на себя массу критики. Суть этой критики раскрыл в предисловии к своей статье другого компьютерного доказательства этой теоремы Джорджс Гонтир (Georges Gonthier) [117, с. 1]: «The Appel and Haken proof attracted a fair amount of criticism. Part of it concerned the proof style: the statement of the Four Colour Theorem is simple and elegant so many mathematicians expected a simple and elegant proof that would explain, at least informally, why the theorem was true – not opaque IBM 370 assembly language programs. Another part, however, was more rational skepticism: computer programming is known to be error-prone, and difficult to relate precisely to the formal statement of a mathematical theorem. The fact that the proof also involved an initial manual case analysis that was large (10,000 cases), difficult to verify, and in which several small errors were detected, also contributed to the uncertainty»[6].

В силу этих причин дальнейшие попытки ученых были направлены на поиск более изящных доказательств, как можно меньше зависящих от компьютерных вычислений. Второе доказательство этой теоремы, предложенное в 1995 году Н. Робертсоном, Д. Сандерсом, П. Сеймуром и Р. Томасом (N. Robertson, D.P. Sanders, P. Seymour, R. Thomas) [130] в сочетании с изданием монографии, содержало исправленное доказательство К. Аппеля и В. Хакена [106], и по свидетельству Д. Гонтира, сняло большую часть возражений.

Некомпьютерная часть нового доказательства была уже более прозрачной и допускала проверку. Компьютерная программа была написана на языке Си, и применялась для анализа большого количества случаев. Однако полностью исключить компьютерную часть из доказательства авторам также не удалось.

Д. Гонтир поставил перед собой принципиально иную задачу – не отказаться от использования компьютера, а закрыть вопрос о допустимости его применения [117, с. 2]: «Our work can be seen as an ultimate step in this clarification effort, completely removing the two weakest links of the proof: the manual verification of combinatorial arguments, and the manual verification that custom computer programs correctly fill in parts of those arguments. To achieve this, we have written a formal proof script that covers both the mathematical and computational parts of the proof. We have run this script through the Coq proof checking system, which mechanically verified its correctness in all respects. Hence, even though the correctness of our proof still depends on the correct operation of several computer hardware and software components (the processor, its operating system, the Coq proof checker, and the Ocaml compiler that compiled it), none of these components are specific to the proof of the Four Colour Theorem»[7].

Программа проверки доказательства теоремы о четырех красках, предложенная Д. Гонтиром, сняла все сомнения в истинности данного утверждения, однако оставила открытым вопрос о статусе «компьютерных доказательств» и их месте в математических исследованиях.

Сегодня этот вопрос активно обсуждается не только математиками, но и философами всего мира. Яркими примерами этого обсуждения являются следующие публикации: [40, 113, 119, 125].

Поиск решения проблемы «компьютерного доказательства» идет сразу в нескольких направлениях:

– создания и совершенствования программного обеспечения, позволяющего проводить не только вычислительные эксперименты, но осуществлять символьную и логическую обработку данных («Логик-теоретик», GeoProof, Geometry Expression’s и др., а также идеи С. Вольфрама (S. Wolfram) [136]);

– создания и совершенствования экспертных систем для проверки формальных доказательств (Agda, Coq, НOL, Isabelle, LCF, Mercury, Vampire и др.);

– расширения самого понятия доказательства так, чтобы в его объем вошли компьютерные способы обоснования (автоматические доказательства, вероятностные доказательства [115], доказательства с нулевой информацией [128] и др.

Несмотря на нерешенность проблемы «компьютерного доказательства», уже сегодня можно положительно оценить то влияние на развитие математики, которое оказало привлечение компьютеров к математической деятельности. Использование компьютерных экспериментов значительно упростило работу математиков, несмотря на постоянное повышение уровня сложности решаемых ими проблем. Ярким свидетельством этого является массовое появление в математике результатов, полученных не только учеными, но и простыми любителями математики, и даже школьниками. Одним из интересных сборников таких результатов является электронная энциклопедия Кларка Кимберлинга [122]. За приростом результатов в этой энциклопедии можно следить в режиме реального времени. На 2 февраля 2015 года энциклопедия включала 5001 новый результат.

Компьютерные средства предоставили ученым новые возможности для манипулирования объектами исследования вне зависимости от их сложности и масштабности.

Все это сделало доступным реализацию программ формального доказательства, а также обоснования ряда известных в математике утверждений, дедуктивные доказательства которых не были найдены учеными. Например, также как и теорема о четырех красках, в 1998 году была доказана Т. Халесом гипотеза Кеплера о максимальной плотности упаковки шаров, сформулированная в 1611 году. Из-за долгой проверки редакционной коллегией журнала Annals of Mathematics
представленного автором доказательства, статья была опубликована лишь в 2005 году [118].

По отношению к компьютерным средствам проблемы математики, таким образом, разделились на три категории:

– задачи, решение которых не требует привлечения компьютера;

– задачи, решение которых значительно облегчается при применении компьютерных средств;

– задачи разрешимые только компьютерными средствами.

Появление компьютеров привело к распространению в математике экспериментального подхода, который сблизил методологию математики с методологией естественных наук ([108, 120, 121, 134, 135]), сняв опасность закрепления и развития методологических представлений Н. Бурбаки, против которых выступал В.И. Арнольд. Наиболее ярко, как показали Дж. Борвей и Д. Бейли в [111], это сближение проявляется при решении задач последнего типа.

Сближение методологий поставило перед учеными задачу уточнения понятия «компьютерный (математический) эксперимент», проведя его сопоставление с экспериментами, применяемыми в естественных науках.

Традиционно в науковедческой литературе [129] выделялись четыре вида экспериментов, связанных с именами Канта (Kantian), Бэкона (Baconian), Аристотеля (Aristotelian) и Галилея (Galilean).

Бэконовские эксперименты (Baconian Experimentation) – это натурные эксперименты. Они призваны ответить на вопрос: «Что произойдет, если …».

Исторически они возникли из представлений о том, что истина лежит вокруг нас. Она сама проявит себя, если мы только сможем видеть вещи такими, какие они на самом деле, отказавшись от предубеждений и предвзятости. Однако для усмотрения закономерных связей явлений недостаточно удачного стечения обстоятельств, нужно «вытянуть» истину из опыта. Ярким примером эксперимента данного вида является открытие электричества при проведении опыта с натиранием янтаря. Это открытие приписывается древнегреческому ученому Фалесу Милетскому
(624–547 гг. до н.э.), который обратил внимание на то, что янтарное веретено, на котором пряла шерсть его дочь, притягивает клочки шерсти.

Эксперименты Аристотеля (Aristotelian Experiments) – это лабораторные эксперименты, позволяющие в искусственных условиях воссоздать явления и управлять ими. Ярким примером эксперимента данного вида является открытие условных рефлексов И.П. Павловым. Изучая пищеварение у собак, И.П. Павлов заметил, что у них начинается слюноотделение при появлении даже пустой миски. Тогда он поставил задачу
научить собаку ассоциировать пищу с другим раздражителем – зажжённой лапочкой. В своем ставшем классическим эксперименте И.П. Павлов вживил в слюнную железу собаки фистулу, чтобы измерять количество выделенной слюны. Затем перед собакой ставили миску, в которую автоматически подавалась еда. Экспериментатор сначала включал свет, а затем, через несколько секунд, в миску подавалось немного пищи, а свет выключался. Эту процедуру повторяли многократно. В результате у собаки вырабатывался требуемый условный рефлекс.

Эксперименты Галилея (Galilean Experiments) – это эксперименты, применяемые для подтверждения гипотез или для получения данных, корректирующих гипотезу. Ярким примером эксперимента данного вида является эксперимент, опровергший утверждение Аристотеля о том, что легкие тела падают на землю медленнее, чем тяжелые. Г. Галилей для проверки этого утверждения сбрасывал с Пизанской башни пушечное ядро весом 80 кг и мушкетную пулю весом 200 г. Оба тела достигли земли одновременно.

Кантовские эксперименты (Kantian Experiments) – это мысленные эксперименты. Их правомерность обосновывалась существованием априорного знания (истины разума, по толкованию Лейбница). Яркими примерами экспериментов данного вида являются рассуждения, которые привели к появлению неевклидовых геометрий. Данный вид экспериментов является типичным для математики (см. параграф 1.1), однако он находит применение и в естественных науках. Его результаты являются аргументом в пользу проведения реальных экспериментов или против них, поскольку реальные эксперименты зачастую бывают очень дорогостоящими.

Судя по описанию кантовских экспериментов, которые дает П. Медаар (P. Medawar), компьютерные эксперименты следует отнести к кантовским: «Kantian experimentation requires no apparatus except sometimes
a computer»[8]. Однако такое отнесение не вполне правомерно.

Представленная классификация четко разграничивает функции экспериментов в исследовании. Так, эксперименты Бэкона и Аристотеля являются разведочными. Они предназначены для открытия новых фактов и закономерностей (Discovery). Эксперименты Галилея и Кантора – контрольными. Они предназначены для проверки гипотез (Justification).

В методологии экспериментальной математики, как показывает Х. Соренсен (H. Sorensen) [133], эта граница размывается (см. схему на рис. 4). На его схеме толстые стрелки указывают традиционные функции эксперимента в естественных науках (оправдание, проверка адекватности теорий) и математике (открытие фактов). Пунктирные стрелки – это новые функции экспериментов, а вертикальные стрелки – изменения самого понятия эксперимента, что проявляется в размывании границ между экспериментами для открытия фактов и экспериментами для их верификации.

Рис. 4. Схема экспериментов Галилея и Кантора

Возможность компьютерных (математических) экспериментов выполнять сразу несколько функций объясняется тем, что в отличие от экспериментов, проводимых в естественных науках, его результаты являются более надежными, это означает, что каждое из полученных данных может рассматриваться как единичный пример проявления некоторой общей закономерности, которую мы собираемся открыть или верифицировать.

Конечно, результаты компьютерных экспериментов не всегда точно представляют эту закономерность или даже могут свидетельствовать о ее кажущемся нарушении. Однако эти ошибки носят систематический, а не случайный характер. Они детерминированы либо ошибками работы процессора, либо особенностями вычислительного алгоритма, лежащего в основе программы, либо недостатками виртуальной модели объекта исследования.

Ненадежность данных, получаемых в ходе естественнонаучных экспериментов, как показывают Дж. Борвей и Д. Бейли, приводит к необходимости ограничения анализа получаемых данных статистическими методами. При этом вычислительные эксперименты математиков, в силу их надежности, допускают применение аналитических методов исследования результата, а также индуктивных обобщений.

В отличие от естественнонаучных экспериментов компьютерные (математические) эксперименты позволяют за короткий срок получать очень большое количество данных, что делает психологически убедительным индуктивный вывод, однако вопрос об истинности получаемых таким образом утверждений остается открытым в большинстве случаев. Это обусловлено тем, что часто математические абстракции обладают свойствами (бесконечности, непрерывности и т.п.), исключающими возможность полного перебора всех вариантов.

Подводя итог обзора различных мнений о специфике методологии экспериментальной математики, следует отметить, что отношение к этой области математического знания и к термину, ее обозначающему, пока не устоялось. Наряду с термином «экспериментальная математика» часто используется термин «компьютерная математика», что позволяет определяющим признаком считать широкое использование компьютеров, но не экспериментального подхода. Значимость этого факта подчеркивает Х. Соренсен [133]: «It is no coincidence that the name of the sub discipline under consideration is often given as experimental mathematics or sometimes as computer based or computer-assisted mathematics»[9].

Некоторые математики склонны считать, что экспериментальную математику целесообразно рассматривать как новый раздел математической науки, другие полагают, что это есть принципиально новое качество современной математики в целом.

Первую точку зрения представляют, например, Дж. Борвейн и Р. Борвейн [112]: «Experimental Mathematics is that branch of mathematics that concerns itself ultimately with the codification and transmission of insights within the mathematical community through the use of experimental (in either the Galilean, Baconian, Aristotelian or Kantian sense) exploration of conjectures and more informal beliefs and a careful analysis of the data acquired in this pursuit»[10]. Сторонником второй точки зрения является Mark McEvoy [127]. Отвечая на вопрос «Что такое экспериментальная математика?», он доказывает, что это новое качество всей современной математики, которое, сделав основным инструментом математического познания эксперимент, вскрыло ложность философских представлений об априорности математического знания. Этой же точки зрения придерживается и С. Вольфрам. В [29] он отмечает, что «применение компьютеров способно вывести чистую математику в новый золотой век».

Пока «компьютерная математика» отвоевывает свои позиции в науке, меняя взгляды на методологию научного исследования, как термин всё шире используется в общественной и научной практике, давая названия научным группам, подразделениям образовательных, научных и исследовательских организаций, научным мероприятиям и журналам.

Мы взялись за освещение методологических основ экспериментальной математики с гораздо более скромной целью, нежели желание разрешить споры вокруг ее статуса, области применимости и характерных для нее методов, руководствуясь теми соображениями, что всякие изменения парадигмы научного познания рано или поздно должны повлиять на систему образования. Методы экспериментальной математики существенным образом меняют характер математического исследования, получение результатов и способы проведения доказательств. В этой связи нам представляется очевидным существенное воздействие «компьютерной математики» на систему образования в целом и на отдельные ее элементы. Видим, что сегодня методы и средства экспериментальной математики все чаще находят применение в обучении математике, открывая дорогу проникновению идей исследовательского обучения в массовую школу.

Решая задачу сближения методической системы исследовательского обучения математике с чертами экспериментальной математики, мы посчитали необходимым не только представить читателям источники наших представлений о методологии экспериментальной математики, но и зафиксировать наши намерения в отношении ее использования.

Эти намерения представлены в Мягком манифесте экспериментальной математики, который размещен для обсуждения на сайте проекта «Методики и информационные технологии в образовании» [144]. Приведем здесь кратко его содержание.

«Манифест. Хорошо известно, что математика, как и всякая наука, имеет двойственную природу. С одной стороны, она представляет собой деятельность по получению нового знания в своей специфической области, а с другой стороны, она является суммой знаний, накопленных к данному моменту. Из этого следует, что в процессе преподавания математики на всех уровнях целесообразно добиваться от студентов и школьников как усвоения математических фактов, так и овладения исследовательскими умениями в области математики, причем то и другое должно происходить одновременно и в равной мере. В частности, процесс обучения должен включать в себя математические эксперименты, поскольку математика в процессе своего становления была наукой экспериментальной и до настоящего времени сохранила оба свои начала, теоретическое и экспериментальное.

Деятельность исследователя с объектами материального мира или их идеальными образами будем относить к области экспериментальной математики, если ее результатами являются гипотезы о свойствах математических объектов и/или математические предпонятия
или понятия.

В разное время и у разных народов существовали различные инструменты проведения математических экспериментов. К ним относятся кубики для игры в кости, игральные карты и монеты; квадратные листы бумаги для оригами; реальные циркуль, линейка и папирус, а впоследствии бумага; идеальные циркуль и линейка; транспортир, двусторонняя линейка и шаблон прямого угла;
компьютер и т.д.

Среди инструментов, с помощью которых ставятся математические эксперименты, особая роль принадлежит компьютеру. Его возможности в постановке экспериментов настолько велики, с его помощью получены настолько интересные и разнообразные результаты, что в последнее время стали говорить о возникновении экспериментальной математики как об особой области математики и об отождествлении математического эксперимента с компьютерным экспериментом. По-видимому, слова «возникновение» и «отождествление» представляют собой некую гиперболу и в этом смысле не точны, однако они отражают новую реальность – резкое возрастание роли экспериментального компонента математики.

Важно, что математические эксперименты стали активно использоваться в сфере образования. Цифровые образовательные ресурсы позволяют организовать математический эксперимент в рамках реального учебного процесса. Это обстоятельство породило сильные позитивные эффекты, с одной стороны, и выявило серьезные риски, с другой стороны.

Перед математическим и педагогическим сообществами стоит благородная цель – научиться использовать экспериментальные методы для развития математики и педагогики математики».