Явление распространения колебаний в твердых телах, в частности в кристаллах, имеет большое практическое значение в технике. С ним связаны процессы распространения колебаний в кристаллах и теплопроводность.
В данном разделе рассматривается модель скорости распространения колебаний в монокристаллах.
Допущения
1. Рассматривается неподвижная кристаллическая решетка, принятая в кристаллографии.
2. Не учитывается факт, что атомы являются осцилляторами.
3. Решается статическая задача из условия равновесия кулоновских сил притяжения и отталкивания между двумя ближайшими зарядами в элементарной атомной ячейке монокристалла.
4. Вследствие симметрии и периодичности бездефектного монокристалла свойства ячейки передаются макрообъему.
Скорость распространения колебаний в монокристаллах определяется по формуле, выведенной автором из условия равенства кинетической энергии колебания атома Uкин относительно узла кристаллической решетки
(1.4)
вызванной внешним воздействием (например, тепловым), с одной стороны, и энергии электростатического противодействия атома Uэл внешнему воздействию, с другой стороны,
Uэл = е2 /4πε0r, (1.5)
где m = mA⋅1,66⋅10–27, кг – масса атома; mA – атомная масса химического элемента; u – скорость передачи колебаний от одного атома к другому (скорость звука); е –элементарный заряд, равный заряду электрона; r – расстояние между ближайшими атомами – соседями; ε0 – электрическая постоянная.
Тогда можно записать
mυ2 /2 = e2 /4πε0r.
Откуда скорость распространения колебаний u в моно- и поликристаллах [38]
(1.6)
Следует отметить, что соотношение (1.5) характеризует скорость распространения колебаний между двумя соседними зарядами в элементарной атомной ячейке кристаллической решетки.
В частности, для никеля с гранецентрированной кристаллической решеткой . После подстановки е = 1,602⋅10–19 Кл и m = 58,7 (атомной массы никеля) получим значение скорости звука в моно- или поликристалле никеля Ni, равное 4380 м/с.
Результаты некоторых расчетов сведены в табл. 1.18.
Из табл. 1.18 видно, что расчетная величина скорости распространения колебаний для никеля Ni составляет 4380 м/с, а справочное значение [39] для υ3 – 4785 м/с. В табл. 1.18 приведены минимальные расхождения с расчетом. Поэтому по результатам сравнительного анализа из табл. 1.18 можно заключить, посредством каких волн распространяются колебания в данном химическом элементе. В частности, для алюминия это продольные волны, т.к. минимальное расхождение, соответствующее υ1, составляет 9,2 %. А для никеля – продольные и поперечные волны с расхождением 8,5 %.
Таблица 1.18
Результаты расчета скорости распространения колебаний
Символ |
Величина скорости, м/с |
Расхождение в % для |
|||||
расчетная |
справочная [39] |
||||||
υ1 |
υ2 |
υ3 |
υ1 |
υ2 |
υ3 |
||
Al |
5991 |
6601 |
3103 |
5092 |
9,2 |
– |
– |
Ni |
4380 |
5413 |
2979 |
4785 |
– |
– |
8,5 |
Ag |
2983 |
3732 |
1699 |
2806 |
– |
– |
6,3 |
Cu |
4131 |
4702 |
2257 |
3711 |
– |
– |
11,3 |
W |
2345 |
5141 |
2794 |
4491 |
– |
16 |
– |
Pb |
1955 |
2137 |
6993 |
1187 |
8,5 |
– |
– |
Ir |
4790 |
5341 |
3041 |
4828 |
– |
– |
0,7 |
Au |
2209 |
3084 |
1204 |
2023 |
– |
– |
9,2 |
Ta |
2314 |
4286 |
2059 |
3137 |
– |
12,4 |
– |
Расчет скорости распространения колебаний в монокристаллах необходим, в частности, для определения коэффициента теплопроводности.
Формула расчета коэффициента теплопроводности выводится в следующей последовательности [40].
Известно, что перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье
j = –l(∆T /∆x),
где j – плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты Q в единицу времени t через единичную площадку A, перпендикулярную оси x, l – коэффициент теплопроводности; ∆T /∆x – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины x в направлении нормали к этой площадке.
Исходя из определения, закон Фурье можно записать в следующем виде
откуда
где – теплоемкость одного атома, или
Допущения
1. Рассматривается элементарная ячейка монокристалла в виде куба со стороной, равной периоду кристаллической решетки а.
2. В качестве единичной площадки принимается .
3. Единица времени t в элементарном объеме не равна одной секунде t ≠ 1 с, тогда время процесса передачи колебаний между двумя атомами в ячейке можно определить по формуле t = ∆x/u, где ∆x – расстояние между ближайшими соседями-атомами.
4. Колебания в ячейке атома распространяются в наиболее плотноупакованных плоскостях (рис. 1.38). В пределах одной кристаллографической плоскости могут распространяться одна или две плоские волны: продольная и (или) поперечная.
Рис. 1.38. Кристаллографические направления и плоскости ГЦК решетки
5. Теплоемкость одного атома постоянная величина и определяется в соответствии с законом Дюлонга и Пти, т.е.
где NA – число Авогадро; k – постоянная Больцмана.
В общем случае теплоемкость одного атома зависит от температуры.
6. Коэффициент теплопроводности характеризует передачу тепла. Тепло в кристалле передается за счет кинетической энергии колебаний атомов в кристаллической решетке равной (mυ2)/2. Иначе говоря, в формуле расчета коэффициента теплопроводности необходимо учитывать массу. Масса учитывается через атомную массу элемента mА и коэффициент ретикулярной плотности kР элементарной атомной ячейки.
С учетом перечисленных допущений формула расчета коэффициента теплопроводности для монокристаллов примет следующий вид [40]
(1.7)
Результаты расчетов для некоторых металлов сведены в табл. 1.19. Примечание: итоговое значение l оценивается, в частности, как сумма l для плотноупакованных плоскостей ячейки, либо как половина среднего значения l в соответствии с четвертым допущением. Справочные значения в табл. 1.19 приведены из работы [7].
Из табл. 1.19, в частности, видно, что расчетная величина коэффициента теплопроводности для меди Cu составляет 406 Вт/м⋅К, а справочное значение – 401,2 Вт/м⋅К [7], расхождение – 1,2 %.
Таким образом, удовлетворительная сходимость расчета с экспериментальными данными, полученными другими авторами, подтверждают адекватность разработанной модели.
Таблица 1.19
Результаты расчета коэффициента теплопроводности
Обозначение химического элемента |
Расчетное значение l, в зависимости от кристаллографического направления, Вт/(м·К) |
Результирующие значения λрасч, Вт/(м·К) |
Справочное значение λ, Вт/(м·К) |
Расхождение, % |
||
λ [010] |
λ |
λ |
||||
Cu |
117,68 |
176,53 |
112,1 |
406 |
401,2 |
1,2 |
Ag |
112,9 |
169,4 |
107,57 |
390 |
453 |
13,9 |
Al |
57,76 |
86,64 |
55,02 |
199,4 |
221,5 |
9,9 |
Cr |
69,068 |
207,2 |
168,8 |
74,2 |
88,6 |
16,2 |
Fe |
72,67 |
218 |
177,6 |
78 |
75,8 |
2,9 |
Ni |
120,59 |
180,89 |
114,8 |
69,4 |
67 |
3,6 |
Rh |
131,878 |
197,81 |
125,6 |
75,9 |
87,8 |
13,6 |
Pd |
126,98 |
190,5 |
120,96 |
73,8 |
72,1 |
2,3 |
W |
102,9 |
308,77 |
251,6 |
154,3 |
154 |
0,2 |
Pb |
96,81 |
145,22 |
92,2 |
72,6 |
72,1 |
0,7 |
Ta |
91,82 |
275,5 |
224,5 |
45,9 |
45,2 |
1,5 |
V |
60,57 |
181,7 |
148,1 |
30,3 |
31 |
2,3 |
Результаты оценки коэффициента теплопроводности являются исходными данными для расчета напряженно-деформированного состояния рабочей лопатки турбины, изготовленной из монокристаллических сплавов и эвтектических композитов.