Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

4. Движение квантовых частиц с нулевой массой покоя

В свое время Луи де Бройль весьма был озадачен тем, что уравнение Шредингера «покоится» на законах сохранения движения для квантов света и, тем не менее, не описывает волновые свойства фотонов [1]. При квазигидродинамическом описании такое возможно.

При квазигидродинамическом описании [2, 3] уравнения инфинитного движения квантовой частицы массы m в произвольном внешнем поле W(r, t) записываются в виде:

nevolin053.wmf (4.1)

nevolin054.wmf (4.2)

где nevolin055.wmf – пространственно-временное распределение плотности вероятности частицы; nevolin056.wmf – макроскопический импульс частицы; nevolin057.wmf – произвольная потенциальная энергия.

Поскольку первое уравнение приводится во многих учебниках по квантовой механике, а второе используется не часто, приведем краткую историю написания этой системы уравнений. Если ввести стандартные обозначения:

nevolin058.wmf (4.3)

nevolin059.wmf (4.4)

то, из уравнения Шредингера можно получить выписанную выше систему уравнений (4.1) и (4.2). Нелинейный метод описания движения квантовых частиц с помощью величин, имеющих физический смысл, использовался для численного решения квантовых задач. Например, при численных расчетах рассеяния квантовых частиц оказалось более удобным использовать квазигидродинамическое представление [3]. Однако численные расчеты не могут дать представления о возможностях квазигидродинамического описания инфинитного движения квантовых частиц. Нам удалось найти ряд аналитических решений известных квантовых задач и понять, что описание инфинитного движения квантовых частиц с помощью волны плотности вероятности является менее противоречивым и более адекватным по сравнению с описанием с помощью волновой функции. И главное, квазигидродинамический подход позволяет предсказать ряд новых эффектов, которые по-новому объясняют известные прежние экспериментальные результаты и которые позволяют получить новые экспериментальные доказательства [5].

В исходной системе уравнений (4.1) и (4.2) введем макроскопическую скорость nevolin060.wmf из определения макроскопического импульса nevolin061.wmf, тогда уравнение неразрывности в соответствии с формулой (4.1) можно записать в виде:

nevolin062.wmf (4.5)

В этом случае уравнение неразрывности принимает стандартный вид и обычно называется дифференциальным законом сохранения плотности вероятности. Уравнение (4.2) при переходе от макроскопического импульса к макроскопической скорости запишется в виде:

nevolin063.wmf (4.6)

Для свободных частиц, когда W(r, t) = 0 и nevolin064.wmf уравнение (4.6) имеет тривиальное решение ρ = const, которое соответствует волнам де Бройля и которое ранее использовалось для описания квантовой бесстакновительной плазмы [6]. Однако система уравнений (4.5) и (4.6) помимо тривиального решения имеет и другие решения, что увеличивает предсказательные возможности квазигидродинамического представления для движения квантовых частиц.

Умножим уравнение (4.6) на 2m и устремим m → 0, получим

nevolin065.wmf (4.7)

Первое интегрирование этого уравнения дает:

nevolin066.wmf (4.8)

Здесь принято обозначение константы интегрирования для движения безмассовых частиц в виде квадрата квантового импульса [7]. В качестве решения системы уравнений (4.6) и (4.8) можно воспользоваться готовым решением из [7] в виде:

nevolin067.wmf (4.9)

Это решение описывает волну плотности вероятности, которая распространяется в пространстве с волновым вектором nevolin068.wmf:

nevolin069.wmf (4.10)

А закон дисперсии для частоты колебаний в этой волне запишется в виде:

nevolin070.wmf (4.11)

Поскольку не существует макроскопический импульс nevolin071.wmf, который связан с массой частицы, то векторы nevolin072.wmf и nevolin073.wmf совпадают по направлению. Для энергии квантов этого поля имеем линейный закон дисперсии:

nevolin074.wmf (4.12)

Здесь скорость безмассовых квантовых частиц не определена. Это могут формально быть, например, длинноволновые акустические фононы, или фотоны, распространяющиеся со скоростью света, когда v = c. Здесь не требуется лоренцевская инвариантность исходных уравнений, поскольку масса покоя фотонов равна нулю.

Если частица движется со скоростью света v = c, то имеем:

nevolin075.wmf (4.13)

Это есть стандартное выражение для импульса фотона. Пользуясь формулами (4.10) и (4.11) выражение для плотности вероятности (4.9) можно переписать в виде:

nevolin076.wmf (4.14)

Плотность электромагнитной энергии в вакууме для плоских электромагнитных волн равна [8]

nevolin077.wmf nevolin078.wmf (4.15)

где E0 – амплитуда электрического поля. Можно видеть, что плотность вероятности, описывающая движение частиц с нулевой массой, согласуется с плотностью электромагнитной энергии с точностью до нормировки. Тогда плотность потока вероятности

nevolin079.wmf

согласуется с точностью до коэффициента с плотностью потока электромагнитной энергии (вектор Умова – Пойтинга).

Полученные результаты ещё раз убеждают, что квантовые квазигидродинамические уравнения или представление плотности вероятности, на наш взгляд, более полно описывают волновую природу движения квантовых частиц.

Эта статья была написана к 120-летию со дня рождения Луи де Бройля (15.08.1892), к которому автор на протяжении своей жизни питает все возрастающий пиетет, и опубликована в [7]. С течением времени содержание статьи по необходимости изменилось. Здесь изложен её новый вариант.

Литература

1. Де Бройль Луи. Избранные научные труды. Т.1. Становление квантовой механики. М.: Логос. 2010. 552 с.

2. Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functionals and Electron Fluids // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). – 1982. V. 92, № 1. – P. 1-44.

3. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера // Доклады Академии наук – 1982. Т.262. – С. 1100-1102.

4. Вопросы причинности в квантовой механике. Сб. переводов / Под ред. Я.П. Терлецкого и А.А. Гусева. – М.: ИЛ 1955. – С. 34.

5. Чаплыгин Ю.А., Неволин В.К., Петухов В.А. Эффект охлаждения анода при автоэлектронной эмиссии с катода. Доклады академии наук. 2011. Т.436. № 2. С. 1-3.

6. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. О квантовом описании линейных кинетических свойств бесстолкновительной плазмы. УФН. 1999. Т. 169. № 6. С. 687-689.

7. Неволин В.К. Квантовая физика и нанотехнологии // М.: Техносфера. – 2013. – 127 с. Nevolin V.K. Quantum Physics and Nanotechnology. http:/arxiv.org/abs/1106.0973v1.

8. Неволин В.К. Квантовый транспорт в устройствах электроники // М.: Техносфера. – 2012. – 89 с.

9. Власов А.А. Макроскопическая электродинамика. М.: ГизТТЛ. 1955. С. 48.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674