Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
8. Квадрупольные моменты атома водорода [1]
В предыдущем разделе было показано, что плотность вероятности нахождение электрона, двигающегося вокруг ядра, в отличие от традиционных представлений структурирована в большей мере, чем это известно ранее, а это должно приводить к более детальным представлениям, в частности, уточнению значений квадрупольного момента атома. Отличие электрических квадрупольных моментов от известных ранее должно приводить к наблюдению более существенной анизотропии квадрупольного излучения или к большим флуктуациям интенсивности излучения разреженного газа возбужденных атомов водорода в заданной точке и к большей средней интенсивности излучения.
Для доказательства такого утверждения целесообразно решить задачу об атоме водорода в представлении плотности вероятности, непосредственно описывающую ее распределение во всех возможных квантовых состояниях [2–4], что и было сделано. Задачу можно решать и в представлении Шредингера [5]. Единственное отличие от стандартного решения этого уравнения методом разделения переменных Ψ = Ψr(r)Ψθ(θ)Ψφ(φ) должно заключаться в том, что решение для Ψφ нужно записывать в полном виде:
(8.1)
поскольку нет предпочтительного направления для вращательных состояний.
В возбужденных состояниях структурирование плотности вероятности по углу φ должно приводить к различию квадрупольных моментов, вычисленных с помощью прежних волновых функции для атома водорода и новых выражений для плотности вероятности. Квадрупольные моменты будем вычислять по формулам [6]:
Конкретные вычисления показывают, что в принятой системе координат недиагональные квадрупольные элементы во всех случаях равны нулю. Диагональные элементы по оси z совпадают 
.
Здесь 
вычислен с помощью волновых функций атома водорода, 
вычислен в представлении плотности вероятности, когда имеет место структурирование по углу φ. Квадрупольные моменты по осям x, y совпадают 
и 
при m = 0 и m > 1. Квадрупольные моменты при m = 1 различаются:
(8.2)
где 
Интеграл имеет смысл среднего квадрата радиуса распределения электронной плотности в атоме. Различие квадрупольных моментов при m = 1 соответствует «двухлистному» распределению плотности вероятности (см. рис. 1, в [1]), когда имеет место ось симметрии второго порядка. В этом случае поперечные составляющие не равны между собой и 
и 
существенно отличаются от 
. Различие электрических моментов должно иметь место и для мультиполей более высокого порядка.
Разница в величинах квадрупольных моментов при m = 1 может проявляться при исследовании квадрупольного излучения атома водорода, водородоподобных ионов и водородоподобных атомов в соответствующих квантовых состояниях. Интенсивность излучения линий равна:
где Ag – вероятность электрического квадрупольного перехода; N(a) – количество атомов, находящихся в данный момент в начальном состоянии a; b – конечное состояние; А и В – состояния высшего и низшего энергетических уровней, между которыми происходит переход; 
– обозначает, что интенсивность линии (А, В) равняется сумме интенсивностей её компонент; ν – частота линии. Составляющую волновых функций по углу φ нужно брать в виде (8.1). Квадрупольное излучение может проявляться, например, при исследовании послесвечения метастабильных уровней [7].
Структурирование электронной плотности вероятности для возбужденных атомов водорода должно проявляться и для дипольных переходов. Правила отбора будем вычислять для оптического электрона и только для движения по углу φ, поскольку остальные составляющие матричных элементов перехода совпадают. Вычисления проводим согласно [5], имеем:
(8.3)
(8.4)
(8.5)
В соответствии с формулой (8.3) матричный элемент 
отличный от нуля для переходов m → ±m′ является вырожденным по знаку магнитного числа m для угловой составляющей волновой функции (8.1). В отличие от [5], где одна из поперечных компонент, например, 
является мнимой величиной, в нашем случае 
. С мнимым матричным элементом связываются переходы со смещенными частотами и с круговой поляризацией. Для 
возможны два дипольных перехода с изменением магнитного числа на единицу, и два связанных с изменением знака магнитного числа m, которые, однако, являются вырожденными.
Применим полученные матричные элементы и правила отбора для простого эффекта Зеемана [5]. Известно, что квантовые уровни атомов расщепляются в магнитном поле. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а электрон обладает спином и соответствующим магнитным моментом. Тогда имеется выделенное направление для вращательных состояний. Для излучательных переходов
с матричными элементами 
в силу законов сохранения энергии возможны только переходы без изменения знака магнитного числа m → m′. Изучение будет распространяться поперек магнитного поля, и плоскость линейной поляризации несмещенной частоты будет проходить через направление магнитного поля. Для излучательных переходов с матричными элементами 
возможны четыре типа переходов со смещенной частотой: два линейно поляризованных m → m′ ± 1 с плоскостью поляризации перпендикулярной направлению магнитного поля и два вращательных перехода со смещенной частотой и изменением знака m → –m′ ± 1 и направлением излучения вдоль оси z. Получается пять возможных пиков излучения: два пика со смещенной частотой вдоль направления магнитного поля и три пика излучения поперек магнитного поля с линейной поляризацией (зеемановский триплет).
Таким образом, в магнитном поле структурирование электронной плотности вероятности для вращательных состояний в возбужденных атомах водорода не изменяет правила отбора для дипольного излучения и уточняет величины матричных элементов.
Литература
1. Неволин В.К. Атом водорода: что нового? Наноинженерия. 2013. № 2. С. 46.
2. Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functionals and Electron Fluids // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). – 1982. V. 92, № 1. – P. 1-44.
3. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера // Доклады Академии наук – 1982. – Т. 262. – С. 1100-1102.
4. Неволин В.К. Квантовый транспорт в устройствах электроники // М.: Техносфера. – 2012. – 87 с.
5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механика // М.: Наука. 1976. – С. 384.
6. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теория поля // М.: ГизФМЛ. 1960. 400 с.
7. Дебров В.Л., Серов В.В., Тепер Н.И. Исследование излучения атома водорода под действием импульса титан-сапфирового лазера // Компьютерная оптика – 2010 – Т. 34. – № 2. – С. 156-161.