Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Краткий курс начертательной геометрии

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

3.7. Пересечение прямой и плоскости

Линия пересечения двух плоскостей – прямая линия. Рассмотрим сначала один из частных случаев (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей α проецирующая задана следом и параллельна горизонтальной плоскости проекций (α ║π1, f0α║Х), а вторая плоскость α’ – общего положения и задана на чертеже проекциями треугольника АВС.

В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π1, т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h). В этом случае одна проекция этой прямой D2E2 известна. Другую проекцию D1E1 искомой прямой можно найти по её принадлежности плоскости треугольника. Видимость точки В определена по её положению на горизонтальной плоскости проекций π1.

missing image file

Рис. 3.9. Первый частный случай пересечения плоскости общего положения
с плоскостью горизонтального уровня

Рассмотрим второй частный случай (рис. 3.10): одна из пересекающихся плоскостей α задана следами (h0α ∩ f0α) и параллельна фронтальной плоскости проекций (α ║π2, h0α ║Х), а вторая плоскость α’ – общего положения и задана на чертеже двумя пересекающимися следами (h0α ∩ f0α)’. В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π2, т. е. будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

Из условия параллельности плоскостей известно, что фронтальный след плоскости параллелен фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальный след плоскости параллелен горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости. Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.11. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

missing image file

missing image file

Рис. 3.10. Второй частный случай пересечения плоскости общего положения
с плоскостью фронтального уровня

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α.

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью.

missing image file

Рис. 3.11. Пример построения точки пересечения прямой с плоскостью

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой общего положения АВ c плоскостью треугольника общего положения DEF представленный на рис. 3.12.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А2В2 проведена конкурирующая прямая МN, принадлежащая плоскости. На фронтальной плоскости проекций (π2) эта прямая представлена проекциями точек M2,N2. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π1) находятся горизонтальные проекции M1 и N1, этих точек. В пересечении горизонтальных проекций прямых А1В1 и M1N1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К2).

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π2 рассмотрены две точки Nmissing image fileEF и 1missing image fileАВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (YN>Y1 ), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π2 (ее проекция К212 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π1.

Doc6.pdf

Рис. 3.12. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Рассмотрим пример (рис. 3.13) определения линии пересечения плоскостей, заданных следами.

missing image file

Рис. 3.13. Нахождение линии пересечения двух плоскостей, заданных следами

Для решения использована вспомогательная плоскость ∑.

Алгоритм решения аналогичен примеру, рассмотренному выше и очевиден из рисунка.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие задачи называются позиционными?

2. Для чего и как используется метод конкурирующих точек?

3. Что такое конкурирующие точки?

4. Как определяется взаимное положение прямой и точки?

5. Как определяется взаимное положение прямых линий? Привести графические примеры.

6. Каковы свойства принадлежности точки и прямой плоскости? Привести примеры?

7. Каков алгоритм нахождения точки пересечения прямой с плоскостью?

8. Как определить линию пересечения двух плоскостей заданных следами?

9. Сформулировать условия принадлежности прямой линии плоскости.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074