Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Краткий курс начертательной геометрии

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

5.3. Преобразование комплексного чертежа способом замены плоскостей проекций

Рассмотрим решение задач, используя способ замены плоскостей проекций. При этом способе объект сохраняет своё положение в пространстве,а положение плоскостей проекций последовательно меняется. Любые две взаимно перпендикулярные плоскости могут быть приняты за новую систему плоскостей проекций, но при этом понятие горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций сохраняется.

Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня (горизонталь или фронталь) новой системы (рис. 5.1).

Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций.

Такая задача решается на комплексном чертеже при необходимости определения натуральной длины отрезка прямой и угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П2новой плоскостью П4 ⊥ П1 и параллельной прямой АВ.

Doc10.pdf

Рис. 5.1. Изображение в пространстве преобразования прямой линии
общего положения в прямую линию уровня

Рассмотрим подробно этапы построения на комплексном чертеже (рис. 5.2), необходимые для решения первой основной задачи на преобразование комплексного чертежа:

1) провести новую ось проекций х14 параллельно А1В1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна АВ. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую АВ, ось х14 = А1В1;

2) выбрать на прямой две точки А(А1А2) и В(В1В2);

3) построить проекции точек А и В на плоскости П4.

Прямая А4В4 является проекцией прямой АВ на плоскость П4. Прямая AB в новой системе плоскостей проекций П1/П4 является фронталью.

Отрезок [АВ] прямой проецируется на плоскость П4 в истинную величину, т.е. |А4В4| = |АB|, α°– величина угла наклона прямой АВ к плоскости П1.

Doc11.pdf

Рис. 5.2. Изображение преобразования прямой линии общего положения
в прямую линию уровня

3адача 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия общего положения АВ стала проецирующей (рис. 5.3).

Для решения задачи необходимо выполнить две замены плоскостей проекций – заменить фронтальную плоскость проекций П2 исходной системы П2/П1 вспомогательной проецирующей плоскостью П4 || А1В1.При этом плоскость П4 будет перпендикулярной П1 так как АВ || П4 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1/П4.

Построения на комплексном чертеже:

1) провести новую ось проекций х14 || А1В1;

2) построить проекции точек А и В на плоскости П4, взяв координаты точек из плоскости П2;

3) заменить плоскость П1 на новую П5, которая будет ⊥ А4В4. Для этого нужно провести новую ось проекций х4,5.

Так как расстояния точек А и В до плоскости П4 одинаковы, то проекции их на плоскости П5 совпадут, А5 ≡ В5, прямая АВ (А5В5) в новой системе плоскостей проекций займёт проецирующее положение и станет горизонтально проецирующей.

Прямую линию общего положения преобразовать в проецирующую линию, заменой, только одной плоскости проекций, нельзя, потому, что плоскость П5 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из «старых» плоскостей проекций, и, следовательно, не сможет образовать, ни с одной из них, прямоугольной системы плоскостей проекций. Для того, чтобы, прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций: прямую общего положения следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 5.3).

Doc12.pdf

Рис. 5.3. Изображение преобразования прямой линии АВ общего положения
в прямую горизонтально-проецирующую линию.

Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей (рис. 5.4, 5.5).

Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости missing image file (АВС).

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости missing image file, преобразовать в проецирующую, то данная плоскость missing image file в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня.

На рис. 5.4 плоскость missing image file(АВС) общего положения преобразована во фронтально-проецирующую путем преобразования её горизонтали h(h1,h2), во фронтально-проецирующее положение. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость missing image file является фронтально проецирующей (missing image file ⊥ П4), и поэтому её проекция на П4 вырождается в прямую линию missing image file4 (С4, А4, В4).

В этом случае α° – величина угла наклона плоскости missing image file к плоскости П1.

Doc13.pdf

Рис. 5.4. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость для определения угла наклона α°к П1

Для определения угла наклона (β°), заданной плоскости к фронтальной плоскости проекций (П4), необходимо выполнить преобразования построения, аналогичные преобразованиям, рассмотренным выше (рис.5.5), используя фронталь.

Doc14.pdf

Рис. 5.5. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость для определения угла наклона β° к П2

В этом случае плоскость преобразуется в горизонтально проецирующую плоскость с помощью её фронтали, которая преобразуется в горизонтально – проецирующую линию.

Задача № 4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) новой системы (рис.5.6).

Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.

Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. В начале решения плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, т. е. решить задачу 3 на преобразование комплексного чертежа, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

На рис. 5.6 показан алгоритм преобразования плоскости Δ(АВС) в плоскость уровня.

missing image file

Рис. 5.6. Решение задачи на преобразование плоскости общего положения
в плоскость уровня.

Рассмотрим ещё один возможный вариант (рис. 5.7). Допустим, что необходимо определить натуральную величину фронтально проецирующей плоскости Г(ΔАВС). Для этого заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(ΔАВС) и, перпендикулярной незаменяемой плоскости П1. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 плоскость Г(АВС) станет плоскостью уровня новой плоскости проекций.

Построения на комплексном чертеже:

1) провести новую ось проекций х2,4 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии;

2) построить проекции точек А, В и С на плоскость П4;

3) треугольник А4В4С4 является проекцией плоскости треугольника АВС на плоскость П4.

Примечание. Так как плоскость треугольника АВС параллельна П4, значит отображение этого треугольника на П4 величина натуральная. Значит, третья задача на преобразование плоскости уже решена и для решения четвёртой задачи необходимо выполнить одну замену плоскостей проекций. Необходимо горизонтальную плоскость проекций заменить на плоскость П4 и создать новую систему П2 /П4.

Doc15.pdf

Рис. 5.7. Решение четвертой задачи на преобразование фронтально проецирующей плоскости в плоскость уровня


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074