Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Краткий курс начертательной геометрии

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

5.4. Преобразование чертежа способом плоскопараллельного перемещения

Плоскопараллельным называется такое перемещение элемента, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных одной плоскости, которая принимается за неподвижную.

Обычно за неподвижные плоскости принимаются плоскости проекций. Перемещение производится относительно одной из них. Если одного перемещения недостаточно, то выполняется ещё одно относительно другой плоскости проекций. При плоскопараллельном перемещении геометрического элемента относительно плоскости проекций его проекция на эту плоскость меняет положение, но не меняет своей формы и размеров. Если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

Рассмотрим прямую общего положения АВ, т. е. прямую, расположенную под наклоном ко всем плоскостям проекций (рис. 5.8).

Doc16.pdf

Рис. 5.8. Пример перемещения геометрического элемента (прямая АВ) относительно горизонтальной плоскости проекций

При плоскопараллельном перемещении прямой АВ относительно горизонтальной плоскости проекций все его точки движутся в горизонтальных плоскостях уровня (α и β). Это значит, что отрезок АВ может перемещаться в любое положение, но фронтальные проекции А2, В2 могут перемещаться только по проекциям α2 и β2 горизонтальных плоскостей уровня, линии которых одновременно служат горизонтальными линиями связи. Так как разность высот концов отрезка сохраняется, то угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций не меняется и горизонтальная проекция отрезка А1В1 может перемещаться произвольно по отношению к оси Х, сохраняя размеры и форму.

В рассматриваемом примере, отрезок АВ перемещён до положения фронтали. Горизонтальная проекция фронтали на комплексном чертеже должна быть параллельной оси проекций Х. Новая горизонтальная проекция отрезка А’1В’1 расположена правее А1В1 параллельно Х. Из точек А1 и В1 проведены вертикальные линии связи и в пересечении их с горизонтальными линиями связи отмечены новые фронтальные проекции точек А’2 и В’2. Новые проекции [А’1 В’1] → [А’2 В’2] изображают отрезок [АВ] || П2. После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости П2, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину |А’2В’2| = АВ. Угол наклона (α°) прямой к П1 спроецировался на фронтальной плоскости в натуральную величину. Следовательно, первая задача на преобразование комплексного чертежа решена.

Решим аналогичную задачу относительно фронтальной плоскости проекций П2. Для этого рассмотрим прямую общего положения СD, т. е. прямую, расположенную под наклоном ко всем плоскостям проекций (рис. 5.9).

Doc17.pdf

Рис. 5.9. Пример перемещения геометрического элемента (прямая СD) относительно фронтальной плоскости проекций

При плоскопараллельном перемещении прямой CD относительно фронтальной плоскости проекций все его точки движутся во фронтальных плоскостях уровня (γ и δ).

При этом горизонтальные проекции точек С1и D1 перемещаются по прямым (γ1 и δ1), перпендикулярным вертикальным линиям связи, а фронтальные проекции отрезка C2 D2 могут перемещаться произвольно относительно оси Х, сохраняя свою форму и размеры.

Из точки С1 проводим горизонтальную линию связи, а из точки С׳ 2, — вертикальную линию связи, на пересечении которых и будет новое положение горизонтальной проекции С’1. Аналогично проведем горизонтальную линию связи из точки D1 до пересечения с вертикальной линией связи, проведенной из точки D’2. Новое положение горизонтальной проекции точки Dполучим на пересечении этих линий в точке D’1.

После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой CD стала параллельна плоскости П1, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину, а угол наклона прямой к П2 на горизонтальной плоскости проекций тоже спроецировался в натуральную величину т.е. в результате получено ещё одно решение первой задачи на преобразование комплексного чертежа.

Решим вторую задачу на преобразование комплексного чертежа.

Задача 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую.

Для решения такой задачи необходимо выполнить два преобразования комплексного чертежа.

Если объект (например, прямые АВ или СD) расположен относительно плоскостей проекций в общем положении (наклонен по отношению к плоскостям проекций под углами отличными от 90°), необходимо выполнить первое преобразование – переместить объект в положение, параллельное одной из плоскостей проекций, т. е. решить первую задачу на преобразование, а затем выполнить второе преобразование комплексного чертежа – натуральную величину прямой расположить перпендикулярно плоскости проекций, т.е. преобразовать параллельное положение прямой относительно плоскости проекций в перпендикулярное (проецирующее).

Рассмотрим решение второй позиционной задачи на примере прямой (АВ) общего положения (рис. 5.10).

Первая ступень решения – прямую общего положения АВ переместить до положения фронтали А’1В’1. При решении необходимо помнить, что А1В1= А’1В’1. Вторая ступень решения – прямую АВ из положения фронтали переместить в положение горизонтально-проецирующей прямой А"2В"2. В этом случае при построении необходимо помнить, что А’1В’1 = А"2В"2 и горизонтально проецирующая прямая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а на комплексном чертеже А"2В"2 ⊥ х.

missing image file

Рис. 5.10. Пример преобразования прямой общего положения
в положение горизонтально-проецирующей

При решении третьей позиционной задачи необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей.

Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения Δ(АВС) в проецирующую плоскость.

Для решения задачи выбрана плоскость общего положения, заданная двумя проекциями А1В1С1 и А2В2С2 (рис. 5.11). При решении необходимо помнить и использовать два положения:

- две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости;

- прямую линию уровня можно одним преобразованием сделать проецирующей (перпендикулярной) к одной из плоскостей проекций.

Первая ступень решения – построить во фронтальной плоскости треугольника фронтальную проекцию горизонтали h2, а затем горизонтальную проекцию горизонтали h1.

missing image file

Рис. 5.11. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Вторая ступень решения – переместить горизонтальную проекцию плоскости треугольника таким образом, чтобы горизонтальная проекция горизонтали стала фронтально проецирующей прямой. Для этого в любом удобном для построения месте построить h’1 и на этой прямой отложить величину А’11’1=А111, На этом отрезке построить треугольник А’1В’1С’1 = А1В1С1 таким образом, чтобы обход вершин осуществлялся в одном направлении. Для чего необходимо провести дуги окружностей из точки 1’1 радиусом 1’1С’1 = 11С1, а из точки А’1, радиусом А’1С’1. В пересечении построенных дуг обозначить точку С’1, с учётом направления обхода вершин. Провести прямую 1’1С’1 и на ней отложить прямую линию С’1В’1 = С1В1. Положение вершин определено. Нужно соединить вершину А’1 с вершинами В’1 и С’1.

Третья ступень решения. По линиям связи построить фронтальную проекцию плоскости треугольника А’2В’2С’2. Для этого из точки С’1 провести вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной линией связи из точки С2. В пересечении горизонтальной и вертикальной линий связи получится С’2. Из точки А’1 провести вертикальную линию связи, а из А2 провести горизонтальную линию связи. В пересечении указанных линий получится А’2. Аналогичным способом построить В’2. Соединить полученные проекции точек. В результате получается фронтально проецирующая плоскость. Значит, решена третья позиционная задача.

Задача 4.Преобразовать комплексный чертеж плоскости общего положения в плоскость уровня (рис. 5.12).

missing image file

Рис. 5.12. Пример решения четвёртой позиционной задачи способом плоскопараллельного перемещения

Четвёртую позиционную задачу относительно плоскости общего положения нельзя решить без решения третьей позиционной задачи. Для решения четвёртой задачи необходимо выполнить два перемещения заданной плоскости относительно плоскостей проекций.

Учитывая имеющееся решение третьей задачи. Рассмотрим пример решения четвертой задачи на основе решения предыдущей (третьей) задачи. Решаем четвёртую позиционную задачу, перемещая фигуру относительно фронтальной плоскости проекций до положения плоскости треугольника А"2В"2С"2 ⊥ С’1С’2. В таком положении плоскость находится параллельно горизонтальной плоскости проекций т.е. плоскость становится плоскостью горизонтального уровня.

Горизонтальная проекция А"1В"1С"1 плоскости определяется в пересечениях вертикальных линий связи с горизонтальными. Недостатком способа плоскопараллельного перемещения является необходимость построения свободно перемещаемой проекции в новом положении. Достоинством этого способа можно считать возможность удобного размещения новых проекций на комплексном чертеже.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074