Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Краткий курс начертательной геометрии

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф Ф.,

5.5. Способ вращения. Вращение вокруг проецирующей прямой

Сущность этого способа заключается в том, что система плоскостей проекций П2/П1 остается неподвижной, а положение геометрических элементов изменяется путем вращения вокруг одной или двух выбранных осей до нужного положения в данной системе. В качестве оси вращения в этом случае удобнее всего выбирать проецирующие прямые или прямые уровни, тогда точка будет вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

При вращении используются следующие элементы вращения:

– ось вращения – прямая, вокруг которой осуществляется вращение.

– плоскость вращения – плоскость, проходящая через вращаемую точку и перпендикулярная оси вращения (плоскость окружности, которую описывает точка при вращении).

– центр вращения – точка пересечения оси вращения и плоскости вращения.

– радиус вращения – кратчайшее расстояние от вращаемой точки до центра (оси) вращения. Радиус всегда перпендикулярен оси вращения.

– угол поворота – угол между начальным и конечным положением радиуса вращения.

При вращении системы точек вокруг одной оси все точки вращаются в плоскостях, параллельных между собой, поворачиваются на один и тот же угол в одном и том же направлении, поэтому вращение является частным случаем плоскопараллельного перемещения. Точки, находящиеся на оси вращения остаются неподвижными.

Способ вращения состоит в том, что данная геометрическая фигура вращается вокруг некоторой неподвижной оси до требуемого положения относительно неподвижных плоскостей проекций. При этом каждая точка фигуры, например точка А (рис. 5.13), описывает окружность, расположенную в плоскости β, перпендикулярной оси вращения i. Центр O этой окружности является точкой пересечения оси вращения с плоскостью β. Радиус окружности равен расстоянию точки А до оси i (|R| = |AO|).

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, ее фронтальная проекция перемещается перпендикулярно линиям связи, а горизонтальная – по окружности, центром которой является горизонтальная проекция оси вращения.

missing image file

Рис. 5.13. Пример вращения точки вокруг оси,
перпендикулярной плоскости

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, ее горизонтальная проекция перемещается перпендикулярно линиям связи, а фронтальная – по окружности, центром которой является фронтальная проекция оси вращения (рис. 5.14).

Рассмотрим вращение точки A(A1,A2,А3) вокруг горизонтально проецирующей прямой i (i1,i2,i3).

При вращении точка описывает окружность, плоскость которой β(β2) перпендикулярна оси i (i1,i2,i3). Поскольку i ⊥ П1, а β(β2) ⊥ i, β(β2) // П1 и угол поворота проецируется на П1 в натуральную величину.

Рассмотрим вращение точки A(A1,A2,А3) вокруг горизонтально проецирующей прямой i (i1,i2,i3).

При вращении точка описывает окружность, плоскость которой β(β2) перпендикулярна оси i (i1,i2,i3). Поскольку i ⊥ П1, а β(β2) ⊥ i, β(β2) // П1 и угол поворота проецируется на П1в натуральную величину.

Таким образом, при вращении вокруг горизонтально проецирующей прямой i(i1,i2) проекции точки A1, А’1, А"1, А"’1 перемещаются по окружности ℓ1 с центром в точке О1 и радиусом R = R1 = ОА = O1A1, фронтальные проекции A2, А’2, А"2, А"’2 перемещается по проекции фронтального следа плоскости β2 в пределах отрезка [А2,А"2].

Рассмотрим вращение точки A(A1,A2,А3) вокруг горизонтально проецирующей прямой i(i1,i2,i3).

Doc9.pdf

Рис. 5.14. Пример вращения точки А вокруг
горизонтально проецирующей прямой i (i ⊥ П1)

При вращении точка описывает окружность, плоскость которой β(β2) перпендикулярна оси i(i1,i2,i3). Поскольку i ⊥ П, а β(β2) ⊥ i, β(β2) // П1 угол поворота проецируется на П1в натуральную величину.

Таким образом, при вращении вокруг горизонтально проецирующей прямой i(i1,i2) проекции точки A1, А’1, А"1, А"’1перемещаются по окружности ℓ1 с центром в точке О1 и радиусом R = R1= ОА = O1A1, фронтальные проекции A2, А’2, А"2, А"’2 перемещается по проекции фронтального следа плоскости β2 в пределах отрезка [А2, А"2].

Если точка А вращается вокруг оси i ⊥ П1, то плоскость β, в которой располагается окружность, описываемая точкой, становится горизонтальной плоскостью уровня (β || П1).

Следовательно, окружность, описываемая точкой А в пространстве, спроецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскость П2 – в отрезок прямой A2 А"2, совпадающей с фронтальным следом плоскости β2.

Таким образом, вращение точки A вокруг горизонтально проецирующей прямой i(i1,i2) на комплексном чертеже (рис. 5.15.а) изображено следующим образом:

1) горизонтальная проекция A1, точки А перемещается по окружности радиуса | R | = | АО | = | А1О1 |;

2) фронтальная проекция А2 точки А перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи (вырожденная фронтальная проекция β2 плоскости β ║П1);

3) угол поворота φ° горизонтальной проекции A1 точки А равен углу поворота точки в пространстве.

missing image file

а б

Рис. 5.15. Вращение точки А вокруг горизонтально проецирующей (а)
и фронтально проецирующей (б) прямых

Вращение точки A вокруг фронтально проецирующей прямой i(i1,i2) на комплексном чертеже (рис. 5.15.б) изображено следующим образом:

4) фронтальная A2, точки А перемещается по окружности радиуса R = | АО | = | А2О2 |;

5) горизонтальная проекция А1 точки А перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи (вырожденная горизонтальная проекция β1 плоскости β ║П2);

6) угол поворота φ° фронтальной проекции точки А равен углу поворота точки в пространстве.

Способом вращения тоже можно решать все основные на преобразование комплексного чертежа.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в линию уровня.

Для того чтобы прямую общего положения ℓ(ℓ1, ℓ2) преобразовать, например, во фронталь, ее необходимо вращать около оси i ⊥ П1 (рис. 5.16).

missing image file

Рис. 5.16. Преобразование прямой линии общего положения
во фронтальную (фронталь) прямую

Для решения задачи необходимо:

1) выбрать две точки А(А1А2) и В(В1В2), принадлежащие прямой ℓ;

2) провести ось вращения i(i1,i2) перпендикулярно П1 через точку В(В1В2) прямой ℓ(ℓ1, ℓ2);

3) при вращении прямой ℓ вокруг оси i точка В прямой останется неподвижной, так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше;

4) угол поворота α° точки А и ее горизонтальной проекции А1 определяется между положением проекций А1В1 и А’1В’1.

Когда прямая ℓ займет положение параллельное П2, ее горизонтальная проекция ℓ’1 расположится перпендикулярно линиям связи.

Для определения положения проекции А’2 необходимо из А’1 провести вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной линией связи из фронтальной проекции А2. Пересечение этих двух линий связи определит новое положение проекции точки А’2.

Соединив между собой новые проекции точек, получим В’2А’2 натуральную величину прямой ℓ, что является решением первой задачи на преобразование комплексного чертежа.

Для преобразования прямой ℓ общего положения в горизонталь, ее необходимо вращать около оси i, перпендикулярной П2 и проходящей через какую-либо точку прямой (рис. 5.17).

missing image file

Рис. 5.17. Преобразование прямой линии общего положения
в горизонтальную (горизонталь) прямую

Для преобразования, заданной прямой, необходимо:

1) выбрать две точки А(А1А2) и В(В1В2), принадлежащие прямой ℓ;

2) провести ось вращения i (i1,i2) перпендикулярно П2 через точку В(В1В2) прямой ℓ(ℓ1, ℓ2);

3) при вращении прямой ℓ вокруг оси i точка В прямой остаётся неподвижной, так как принадлежит оси, и новое её положение будет с ней совпадать В2 ≡ В’2, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше;

4) угол поворота β° точки А и ее фронтальной проекции А2 определяется между положением проекций А2В2 и А’2В’2, когда прямая ℓ займет положение, параллельное П1, ее фронтальная проекция ℓ’2 расположится перпендикулярно линиям связи.

Для определения положения проекции А’1 необходимо из А’2 провести вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной линией связи из А1. Пересечение этих двух линий связи определит новое положение проекции точки А’1. Соединив между собой новые проекции точек, получим В’1А’1 натуральную величину прямой ℓ, что является решением первой задачи на преобразование комплексного чертежа.

3адача 2. Преобразовать линию общего положения в проецирующую прямую (рис.5.18).

missing image file

Рис. 5.18. Преобразование прямой линии общего положения
в горизонтально проецирующую

Вторую задачу на преобразование комплексного чертежа решать без решения первой задачи нельзя. Поэтому, если дана прямая общего положения, то для решения второй задачи необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в линию уровня (см. первую задачу), а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (рис. 5.18, 5.19). Если линия уровня является фронталью, то ее можно преобразовать в горизонтально проецирующую прямую вращением около оси i’ перпендикулярной П2 (рис. 5.18). В рассматриваемом случае необходимо ось вращения провести через точку А’’. Во фронтальной плоскости проекций А’2 ≡ i’2 ≡ А’’2. Для определения нового положения точки В необходимо В’2 повернуть вокруг i’2 до положения В’’2. Соединив между собой новые проекции точек, получим В’’2А’’2, прямую перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций (горизонтально проецирующую), что является решением второй задачи на преобразование комплексного чертежа.

missing image file

Рис. 5.19. Преобразование прямой общего положения
во фронтально-проецирующую

Если линия уровня является горизонталью, то ее можно преобразовать во фронтально проецирующую прямую вращением около оси i’ перпендикулярной П1 (рис. 5.19). В рассматриваемом случае необходимо ось вращения провести через точку А’’.

В горизонтальной плоскости проекций А’1 ≡ i’1 ≡ А’’1. Для определения нового положения точки В необходимо В’1 повернуть вокруг i’1 до положения В’’1. Соединив между собой новые проекции точек, получим В’’1А’’1, прямую перпендикулярную фронтальной плоскости проекций (фронтально проецирующую), что является решением второй задачи на преобразование комплексного чертежа.

Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения Σ(ΔАВС) после поворота стала проецирующей (рис. 5.20).

missing image file

Рис. 5.20. Преобразование плоскости Σ(ΔАВС) во фронтально-проецирующую

При решении таких задач необходимо знать, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Таким образом, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости Г, преобразовать в проецирующую, то плоскость Г тоже станет проецирующей.

Для того чтобы плоскость преобразовать во фронтально проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i ⊥ П1, а в качестве вспомогательной линии уровня взять горизонталь. Для решения этой задачи можно использовать плоскость треугольника ΔАВС. Если плоскость Г(ΔАВС) вращать вокруг оси i ⊥ П1, то горизонталь (h), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости П2, при этом плоскость Г станет фронтально проецирующей (рис. 5.20).

Построения новой горизонтальной проекции А’1В’1С’1 треугольника ΔАВС в плоскости нужно провести горизонталь (А111), которую одним поворотом сделать проецирующей прямой. За ось вращения i можно принять горизонтально проецирующую прямую, которую для удобства решения, провести через точку (А), принадлежащую плоскости. В горизонтальной плоскости проекций П1 проекции исходного и нового положения точки А и оси вращения совпадают А1 ≡ А’1 ≡ i1. При повороте точек В1 и С1 вокруг i1 величина их угла поворота равна величине угла поворота горизонтальной проекции горизонтали h1. В результате поворота треугольник ΔА’В’С’ оказывается перпендикулярным П2 и поэтому его фронтальная проекция В’2А2С’2 вырождается в прямую линию, построение которой необходимо выполнить по правилам, рассмотренным выше.

Фронтальные проекции начального и нового положений точки А совпадают А2 ≡ А’2. Положения точек В2 и С2 определяются в пересечении вертикальных и горизонтальных линий связи соответствующих точек. Для определения положения В’2 необходимо из В’1провести вертикальную, а из В2 горизонтальную линии связи. Для определения положения С’2 необходимо из С’1 провести вертикальную, а из С2 горизонтальную линии связи. Новые положения точек плоскости Г во фронтальной плоскости проекций П2 находятся на одной прямой, что подтверждает условие перпендикулярности Г ⊥ П2 и решение третьей задачи на преобразование комплексного чертежа.

Для того чтобы плоскость Σ преобразовать в горизонтально проецирующую, её необходимо вращать вокруг оси i ⊥ П2, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь (рис. 5.21).

В качестве плоскости Σ можно использовать треугольник ΔDEK.

Если плоскость Σ (DEK) вращать вокруг оси i ⊥ П2, то фронталь (f), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости П1, при этом плоскость Σ станет горизонтально проецирующей (рис. 5.21).

missing image file

Рис. 5.21. Преобразование плоскости Σ (ΔАВС) в горизонтально- проецирующую

Для построения новой горизонтальной проекции D’2E’2K’2 треугольника ΔDEK в плоскости нужно провести фронталь, которую одним поворотом сделать проецирующей прямой. За ось вращения i можно принять фронтально проецирующую прямую, которую для удобства решения, провести через точку (D), принадлежащую плоскости.

Во фронтальной плоскости проекций П2 проекции исходного и нового положения точки D и оси вращения совпадают D2 ≡ D’2 ≡ i2. При повороте точек E2 и K2 вокруг i2 величина их угла поворота равна величине угла поворота фронтальной проекции фронтали f2.

В результате поворота треугольник D’E’K’ оказывается перпендикулярным П1 и поэтому его горизонтальная проекция D’1 E11 K’2 вырождается в прямую линию, построение которой необходимо выполнить по правилам, рассмотренным выше.

Горизонтальные проекции начального и нового положений точки D совпадают D1 ≡ D’1. Положения точек E1 и K1 определяются в пересечении вертикальных и горизонтальных линий связи соответствующих точек. Для определения положения E’1 необходимо из E1 провести горизонтальную, а из E’2 вертикальную линии связи. Для определения положения К’1 необходимо из К1 провести горизонтальную, а из К’2 вертикальную линии связи. Новые положения точек плоскости Σ в горизонтальной плоскости проекций П1 расположены на одной прямой, что подтверждает условие перпендикулярности Σ ⊥ П1и решение третьей задачи на преобразование комплексного чертежа.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074