Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

АТОМ ВОДОРОДА. ЧТО НОВОГО?

Неволин В. К.,

5. «Дрожание» как способ движения материальных частиц в пространстве

С позиций предыдущих разделов посмотрим на процесс поступательного движения в более общем виде.

Объект с массой покоя отличной от нуля, размеры которого существенно меньше области, в которой он движется, назовем материальной частицей. Если в каждый момент времени частица занимает вполне определенное положение в пространстве и описывается классическими уравнениями движения, то в результате решения уравнений движения получаем хронологию событий во времени и пространстве. Как же на самом деле происходит движение частицы? Об этом задумывались еще древние мыслители, например, Зенон Элийский в пятом веке до н.э. Как пишут историки он утверждал: «Летящая стрела неподвижна, так как в каждые моменты времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда». Получается, что для совершения движения в каждый момент времени частица должна «дрожать» – иметь неопределенность значений координат и, следовательно, импульса. Закон сохранения энергии для такой свободной частицы можно записать в виде:

(5.1)

где  – средне значение импульса, поскольку он должен флуктуировать – «дрожать» около некоторого среднего значения; m – масса частицы; Δε – энергия «дрожания». Для классических частиц (частицы которые описываются классическими уравнениями движения) величина Δε – исчезающее мала, но принципиально не равна нулю и о ней обычно не говорят.

В квантовой механике для материальных частиц, совершающих инфинитное движение (движение неограниченное хотя бы в одном направлении), формула (5.1) выводится строго, и загадочная величина Δε является вполне конкретной величиной – энергией квантовых флуктуаций импульса частицы. Теперь понятно, что для описания движения макроскопических тел эта величина не имеет никакого значения, в то же время при описании квантовых движений эта величина может быть существенной. Например, электрон в атоме водорода локализован в области ядра и совершает чисто квантовое движение с дискретным значением энергии Δεn.

Здесь следует сделать отступление. Формула (5.1) и все последующие формулы далее по тексту были получены при описании движения квантовых частиц с помощью квантовых уравнений движения с физическими переменными, а не с помощью уравнения Шредингера [1, 2]. Однако каждый раз полученные решения поверялись решениями уравнения Шредингера, в которых приходилось учитывать дополнительные условия. Система квантовых уравнений движения для частицы с массой m0, которая движется в произвольном потенциальном поле, записывается в виде [1, 2]:

(5.2)

(5.3)

где  – пространственно-временное распределение плотности вероятности частицы;  – ее средний макроскопический импульс;  – произвольная потенциальная энергия.

Для стационарного инфинитного движения свободной частицы из уравнений (5.2) и (5.3) получаем закон сохранения энергии в виде:

(5.4)

Если обозначить квантовую составляющую энергии движения в виде:

то из (5.4) получается формула (5.1). Результаты решения уравнений (5.2) и (5.3) для инфинитного движения квантовых частиц отличаются от аналогичных решений уравнения Шредингера, в особенности, когда квантовая составляющая энергии движения превосходит энергию поступательного движения [1, 2].

«Дрожание» имеет место не только при поступательном движении квантовых частиц, но и при вращательном движении. Рассмотрим это явление на примере атома водорода. Можно ли узнать что-нибудь новое об атоме водорода? Кажется, в квантовой механике он изучен самым детальным образом, тем более что многие задачи о пространственной структуре и состояниях этого атома решаются аналитически. Однако можно показать, что плотность вероятности нахождение электрона, двигающегося вокруг ядра, в отличие от традиционных представлений в большей мере структурирована, а это должно приводить к уточнению известных эффектов [3].

Для стационарного пространственно ограниченного движения электрона в поле ядра с зарядом Z система уравнений (5.2) и (5.3) запишется в виде:

(5.5)

Решая это уравнение в сферической системе координат методом разделения переменных ρ = ρr(r)ρθ(θ)ρφ(φ), получаем решение, отличающееся от решения аналогичной задачи с помощью уравнения Шредингера. Решение отличается только для составляющей ρφ(φ), а именно:

где m = 0; ±1; ±2; ...; l.

В решении уравнения Шредингера ρφ(φ) является константой. Для согласия решений, полученных двумя методами, нужно положить в решении уравнения Шредингера для Ψφ вместо

поскольку для невозмущенного атома водорода нет предпочтительного направления для вращательных состояний. Иначе говоря, это есть «дрожание» электрона для вращательных состояний, приводящее к структурированию плотности вероятности. Структурирование плотности вероятности по углу φ приводит в возбужденных состояниях к различию квадрупольных моментов, вычисленных с помощью прежних волновых функций для атома водорода и новых выражений для плотности вероятности [3]. Разница в величинах квадрупольных моментов, например, при m = 1 может проявиться при изучении анизотропии флуктуаций квадрупольного излучения атома водорода в соответствующих квантовых состояниях.

На заре создания квантовой механики великий французский физик Луи де Бройль написал не только выражение для волны, носящей его имя и описывающей движение квантовых частиц, но один из первых предложил в своей докторской диссертации научному сообществу формулу [4]:

(5.6)

Смысл этой формулы заключается в том, что элементарная частица с массой покоя m0 представляет собой «сгусток» энергии, который должен двигаться по законам квантовой механики. В силу формулы (5.6) квантовая частица должна «дрожать». А если это так, то для частицы должно существовать поле стоячих волн плотности вероятности. Луи де Бройлю удалось найти волновую электромагнитную аналогию этого явления для электрона [4, с. 203]. Известно шредингеровское «дрожание» дираковских электронов, связанное с колебаниями центра тяжести частицы и для проявления которого нужно привлечь волны с отрицательной энергией [4, с. 530].

Покажем, что решение квантовых уравнений движения в представлении плотности вероятности с энергией из формулы (5.6) позволяет, прежде всего, получить дискретный спектр значений спина у квантовых частиц с ненулевой массой покоя, а также представления о пространственной структуре плотности вероятности для квантовых частиц [5].

Для стационарного пространственно ограниченного свободного движения квантовой частицы система уравнений (5.2) и (5.3) запишется в виде:

(5.7)

где ρ = ρ(r) – плотность вероятности распределения частицы в пространстве. Введем линейный масштаб задачи . Это комптоновская длина волны. Для электрона r0 = 3,5∙10–11 см. Тогда получим:

(5.8)

Расположим сферическую систему координат в центре вероятностного распределения частицы и будем решать задачу методом разделения переменных ρ(r, θ, φ) = ρr(r)ρθ(θ)ρφ(φ). Для составляющей ρφ(φ) получим выражение

где

Назовем дискретные числа s – спинами квантовых частиц и покажем, что спин определяет пространственную структуру распределения плотности вероятности. Решение для ρθ(θ) имеет вид:

Решение ρr(r) для частиц со спином равным нулю имеет вид:

Это решение описывает осцилляции плотности вероятности по радиусу с максимум локализации в центре с характерным радиусом 2r0 и напоминает неустойчивое распределение во времени плотности вероятности волнового пакета для квантовых частиц в механике Шредингера (рис. 5.1).

Для частиц со спином отличным от нуля получается более сложное решение в виде некоего тора с размытой внешней условной границей и внутренней областью запрещенной для движения и определяемой радиусом:

Рис. 5.1. Распределение радиальной плотности вероятности
для частиц с нулевым спином

Главное то, что радиальное решение для плотности вероятности дает ограничение на возможные значения спина:

где

Спины всех известных стабильных элементарных частиц удовлетворяют этому неравенству.

Таким образом, свободные частицы с ненулевой массой покоя и отличным от нуля спином совершают вращательно-колебательные движения и в основном локализованы в области некого подобия тора.

Зная решение этой задачи в представлении плотности вероятности, можно получить аналогичные результаты и в представлении Шредингера. А именно, необходимо решать уравнение:

Единственное отличие от стандартного решения этого уравнения методом разделения переменных Ψ = Ψr(r)Ψθ(θ)Ψφ(φ) должно заключаться в том, что решение для Ψφ(φ) нужно записывать в полном виде:

поскольку нет предпочтительного направления для вращательных состояний. Другими словами – это выражение описывает «дрожание» для вращательных состояний элементарных квантовых частиц.

В свое время Луи де Бройлем в соответствии с формулой (5.6) не было предсказано наличие дискретных значений спина у квантовых частиц с ненулевой массой покоя, поскольку возобладал способ описания квантовых систем с помощью волновых функций, в продвижении которого он принял самое активное участие. Однако при описании движения квантовых частиц изначально с помощью плотности вероятности, имеющей физический смысл, такое решение является вполне доступным.

В целом можно заключить, что «дрожание» квантовых частиц в нерелятивистской квантовой механике является одним из способов их движения, а в классической механике разрешает парадоксы древних мыслителей.

Литература

1. Неволин В.К. Квантовая физика и нанотехнологии. М.: Техносфера. 2011. 127 с.

2. Неволин В.К. Квантовый транспорт в устройствах электроники. М.: Техносфера. 2012. 87 с.

3. Неволин В.К. Все ли нам известно об атоме водорода? Журнал «Наноиндустрия». 2012. № 3. С. 20-22.

4. Де Бройль Луи. Избранные научные труды. Т. 1. Становление квантовой механики. М.: Логос. 2010. 552 с.

5. Неволин В.К. Пространственная локализация свободных квантовых частиц. www.nanotube.ru.