Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Оразбаев Б. Б., Курмангазиева Л. Т., Коданова Ш. К.,

3.4. Методы моделирования систем

1. Общие подходы к моделированию систем.

2. Аналитические и статистические методы.

3. Математическая логика.

4. Лингвистические и семиотические представления.

5. Графические методы.

6. Методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов.

1. Общие подходы к моделированию систем

Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести её словесное, вербальное описание в формальное. В случае относительно простых задач такой переход осуществляется в сознании человека, который не всегда даже может объяснить, как он это сделал. Если полученная формальная модель (математическая зависимость между величинами в виде формулы, уравнения, системы уравнений) опирается на фундаментальный закон или подтверждается экспериментом, то этим доказывается её адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется для решения задач соответствующего класса.

По мере усложнения задач получение модели и доказательство её адекватности усложняется. Вначале эксперимент становится дорогим и опасным (например, при создании сложных технических комплексов, при реализации космических программ и т.д.), а применительно к экономическим объектам эксперимент становится практическим нереализуемым, задача переходит в класс проблем принятия решений, и постановка задачи, формирование модели, т.е. перевод вербального описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решения.

Перевод вербального описания в формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов становятся неотъемлемой частью практически каждого этапа моделирования сложной развивающейся системы.

Для решения проблемы перевода вербального описания в формальное описание в различных областях деятельности стали развиваться специальные приёмы и методы. Так, возникли методы типа «мозговой атаки», «сценариев», экспертных оценок, «дерева целей» и т.п.

В свою очередь, развитие математики шло по пути расширения средств постановки и решения трудноформализуемых задач. Наряду с детерминированными, аналитическими методами классической математики возникла теория вероятностей и математическая статистика (как средство доказательства адекватности модели на основе представительной выборки и понятия вероятности правомерности использования модели и результатов моделирования). Для задач с большей степенью неопределённости инженеры стали привлекать теорию множеств, математическую логику, математическую лингвистику, теорию графов, теорию нечетких множеств, что во многом стимулировало развитие этих направлений. Иными словами, математика стала постепенно накапливать средства работы с неопределённостью, со смыслом, который классическая математика исключала из объектов своего рассмотрения.

Таким образом, между неформальным, образным мышлением человека и формальными моделями классической математики сложился как бы «спектр» методов, которые помогают получать и уточнять (формализовать) вербальное описание проблемной ситуации, с одной стороны, и интерпретировать формальные модели, связывать их с реальной действительностью, с другой. Этот спектр условно представлен на рис. 3.4, а.

а

б

Рис. 3.4. Модели и моделирование систем

Развитие методов моделирования, разумеется, шло не так последовательно, как показано на рис. 3.4, а. Методы возникали и развивались параллельно. Существуют различные модификации сходных методов. Их по-разному объединяли в группы, т.е. исследователи предлагали разные классификации (в основном – для формальных методов). Постоянно возникают новые методы моделирования как бы на «пересечении» уже сложившихся групп. Однако основную идею – существование «спектра» методов между вербальным и формальным представлением проблемной ситуации – рис. 3.4, а иллюстрирует.

Первоначально исследователи, развивающие теорию систем, предлагали классификации систем и старались поставить им в соответствие определённые методы моделирования, позволяющие наилучшим образом отразить особенности того или иного класса. Такой подход к выбору методов моделирования подобен подходу прикладной математики.

Однако в отличие от последней, в основу которой положены классы прикладных задач, системный анализ может один и тот же объект или одну и ту же проблемную ситуацию (отображать разными классами систем и соответственно различными моделями, организуя таким образом как бы процесс постепенной формализации задачи, т.е. «выращивание» её формальной модели. Подход помогает понять, что неверно выбранный метод моделирования может привести к неверным результатам, к невозможности доказательства адекватности модели, к увеличению числа итераций и затягиванию решения проблемы.

2. Аналитические и статистические методы

Аналитические и статистические методы получили наибольшее распространение в практике проектирования и управления. Для представления промежуточных и окончательных результатов моделирования широко используются графические представления (графики, диаграммы и т.п.). Однако последние являются вспомогательными; основу же модели, доказательства её адекватности составляют те или иные направления аналитических и статистических представлений. Поэтому, несмотря на то, что по основным направлениям этих двух классов методов в вузах читаются самостоятельные курсы лекций, мы всё же кратко охарактеризуем их особенности, достоинства и недостатки с точки зрения возможности использования при моделировании систем.

Аналитическими в рассматриваемой классификации названы методы, которые отображают реальные объекты и процессы в виде точек (безразмерных в строгих математических доказательствах), совершающих какие-либо перемещения в пространстве или взаимодействующих между собой.

Основу понятийного (терминологического) аппарата этих представлений составляют понятия классической математики (величина, формула, функция, уравнение, система уравнений, логарифм, дифференциал, интеграл и т.д.).

Аналитические представления имеют многовековую историю развития, и для них характерно не только стремление к строгости терминологии, но и к закреплению за некоторыми специальными величинами определённых букв (например, удвоенное отношение площади круга к площади вписанного в него квадрата π ≈ 3,14; основание натурального логарифма – е ≈ 2,7 и т.д.).

На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности – от аппарата классического математического анализа (методов исследования функций, их вида, способов представления, поиска экстремумов функций и т.п.) до таких новых разделов современной науки – исследования операции, системный анализ, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т.п.), теория игр (матричные игры с чистыми стратегиями, дифференциальные игры и т.п.).

Эти теоретические направления стали основой многих прикладных, в том числе теории автоматического управления, теории оптимальных решений и т.д.

При моделировании систем применяется широкий спектр символических представлений, использующих «язык» классической математики. Однако далеко не всегда эти символические представления адекватно отражают реальные сложные процессы, и их в этих случаях, вообще говоря, нельзя считать строгими математическими моделями.

Большинство из направлений математики не содержат средств постановки задачи и доказательства адекватности модели. Последняя доказывается экспериментом, который по мере усложнения проблем становится также всё более сложным, дорогостоящим, не всегда бесспорен и реализуем.

В то же время в состав этого класса методов входит относительно новое направление математическое программирование, которое содержит средства постановки задачи и расширяет возможности доказательства адекватности моделей (стохастическое, нечеткое программирование).

Статистические представления сформировались как самостоятельное научное направление в середине прошлого века (хотя возникли значительно раньше). Основу их составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками и статистическими закономерностями.

Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить как бы в виде «размытой» точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую переводит систему (её учитываемые в модели свойства) оператор Ф[Sx]. «Размытую» точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (её поведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью p («размыты») и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить срез по линии а–b, смысл которого – воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трёхмерную и т.д. картины статистического распределения.

Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей, или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов.

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины xi и их вероятностями pi, называют законом распределения и либо записывают в виде ряда (табл. 3.1), либо представляют в виде зависимостей F(x) (рис. 3.5, а) или p(х) (рис. 3.5, в).

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распределения представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения – рис. 3.5, б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения – рис. 3.5, г). В этом случае и ΔF(х) = р(х)Δх, где р(х) – вероятность попадания случайных событий в интервал от х до х + Δх.

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования:

закона распределения

(3.10)

плотности вероятности

(3.11)

Часто применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис. 3.5, более подходящий для соответствующих приложений.

При этом

(3.12)

Таблица 3.1

x

x1

x2

…

xi

…

xn

p(x)

p1

p2

…

pi

…

pn

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы. Однако получение закона (даже одномерного) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками – начальными и центральными моментами.

а б

в г

Рис. 3.5. Закон распределения и плотность вероятности случайных величин

Наибольшее применение получили:

1) первый начальный момент – математическое ожидание или среднее значение случайной величины:

– для дискретных величин

(3.13)

– для непрерывных величин

2) второй центральный момент – дисперсия случайной величины:

– для дискретных величин

(3.14)

– для непрерывных величин

На практике иногда используется не дисперсия а среднее квадратическое отклонение σx.

Теоретико-множественные представления

Теоретико-множественные представления базируются на понятиях множество, элементы множества, отношения на множествах.

Понятие множество относится к числу интуитивно постигаемых понятий, которым трудно дать определение. Это понятие содержательно эквивалентно понятиям «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «класс» и другим обобщающим понятиям.

Один из основоположников теории множеств Георг Кантор определял множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Множества могут задаваться следующими способами:

1) списком, перечислением (интенсиональный способ), например,

{ai}, где i = 1, ..., n, (3.15)

или ⟨a1, a2, ..., ai, ..., an⟩, (3.16)

где ai ∈ A, ∈ – знак вхождения элементов в множество;

2) путём указания некоторого характеристического свойства А (экстенсиональный способ). Например, «множество натуральных чисел», «множество рабочих данного завода», «множество планет солнечной системы», «множество А» и т.д.

В основе теоретико-множественных преобразований лежит принцип перехода от одного способа задания множества к другому:

A = ⟨a1, a2, ..., ai, ..., an⟩ (3.17)

или ⟨a1, a2, ..., ai, ..., an⟩ → A. (3.18)

Переход от интенсионального способа задания множества к экстенсиональному называют принципом свёртывания.

В множестве могут быть выделены подмножества. Вхождение элементов в любое множество или подмножество описывается знаком принадлежит – ∈, а вхождение подмножества в множество записывается В ⊂ А. Это означает, что все элементы подмножества В являются одновременно элементами множества А (рис. 3.6):

b1 ∈ B…b1 ∈ A;

b2 ∈ B…b2 ∈ A;

… … … …;

bn ∈ B…bn ∈ A;

→ B ⊂ A.

Важным понятием является понятие пустое множество – множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента: D = ∅.

При использовании теоретико-множественных представлений в соответствии с концепцией Кантора можно вводить любые отношения. При уточнении этих отношений применительно к множествам удобно пользоваться наглядными диаграммами Эйлера-Венна, примеры которых для операции объединения (∪), пересечения (∩), дополнения (отрицания), обозначаемого знаком «–» над именем множества, либо знаком перед именем множества или его элемента) приведены в табл. 3.2.

3. Математическая логика

Базовыми понятиями математической логики являются высказывание, предикат, логические функции (операции) кванторы, логический базис, логические законы (законы алгебры логики).

Под высказыванием в алгебре логики понимается повествовательное предложение (суждение), которое характеризуется определённым значением истинности.

В простейших случаях используется два значения истинности: «истинно» – «ложно», «да» – «нет», «1» – «0». Такая алгебра логики, в которой переменная может принимать только два значения истинности, называется бинарной алгеброй логики Буля (по имени создателя алгебры логики).

4. Лингвистические и семиотические представления

Математическая лингвистика и семиотика – самые «молодые» методы формализованного отображения систем. Включение их в разряд математических нельзя считать общепризнанным.

Таблица 3.2

Наименование

Диаграмма

Обозначение

Множество А

А

Дополнение С множества А

СА

Множество В

В

Дополнение С множества В

СВ

Множество А

Множество В и их дополнения С

СА СВ

А, В, СА, СВ

Объединение множеств А и В

СА СВ

Пересечение множеств А и В

Пересечение множества А и дополнения множества В

СА СВ

Дополнение объединения множества А и дополнения множества В

СА СВ

Математическая лингвистика возникла во второй половине прошлого столетия как средство формализованного изучения естественных языков и вначале развивалась как алгебраическая лингвистика. Первые полезные результаты алгебраической лингвистики связаны со структуралистским (дескриптивным) подходом. Однако в силу отсутствия в тот период концепции развития языка эти работы привели к ещё большему тупику в попытках построения универсальной грамматики, и был период, когда структурализм считался неперспективным направлением развития науки о языке.

Семиотика возникла как наука о знаках, знаковых системах. Однако некоторые школы, развивающие семиотические представления, настолько равноправно пользуются в семиотике понятиями математической лингвистики, такими как тезаурус, грамматика, семантика и т.п. (характеризуемыми ниже), не выделяя при этом в отдельное направление лингвосемиотику, что часто трудно определить, к какой области относится модель – математической лингвистике или семиотике.

5. Графические методы

Понятие графа первоначально было введено Л. Эйлером. Графические представления позволяют наглядно отображать структуры сложных систем и процессов, происходящих в них. С этой точки зрения они могут рассматриваться как промежуточные между методами формализованного представления систем и методами активизации специалистов.

Действительно, такие средства, как графики, диаграммы, гистограммы, древовидные структуры, можно отнести к средствам активизации интуиции специалистов.

В то же время есть и возникшие на основе графических представлений методы, которые позволяют ставить и решать вопросы оптимизации процессов организации, управления, проектирования, и являются математическими методами в традиционном смысле.

6. Методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов

Рассматриваемые ниже подходы и методы возникали и развивались как самостоятельные, и для обобщения в теории систем вначале их называли качественными (оговаривая условность этого названия, поскольку при обработке получаемых результатов могут использоваться и количественные представления) или экспертными, поскольку они представляют собой подходы в той или иной форме активизирующие выявление и обобщение мнений опытных специалистов – экспертов (в широком смысле термин «эксперт» в переводе с латинского означает «опытный»).

Однако есть и особый класс методов, связанных с непосредственным опросом экспертов, который называют методом экспертных оценок. Этот термин, хотя и несколько громоздкий, в большей мере, чем другие, отражает суть методов, к которым прибегают специалисты в тех случаях, когда не могут сразу описать рассматриваемую проблемную ситуацию аналитическими зависимостями или выбрать тот или иной из рассмотренных выше методов формализованного представления для формирования модели принятия решения.

Заключение. Обсуждены общие подходы к моделированию систем; описаны вербальные и формальные модели; аналитические модели; статистические методы. Рассмотрены теоретико-множественные представления и математическая логика, лингвистические и семиотические представления, графические методы. Изучены методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов.

Контрольные вопросы

1. Общие подходы к моделированию систем.

2. Вербальные и формальные модели.

3. Аналитические модели.

4. Статистические методы.

5. Теоретико-множественные представления.

6. Математическая логика.

7. Лингвистические и семиотические представления.

8. Графические методы.

9. Методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов.