Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

МОДЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ОБСТАНОВКИ КОМПАНЕНТОВ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ С УЧЕТОМ АТМОСФЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Айдосов А. , Айдосов Г. А., Заурбеков Н. С.,

2.4.4. Полуявная схема реализации прогностической модели

Неявные временные разностные схемы получили наибольшее развитие в работах советских метеорологов еще в 60-х годах, когда ограниченные возможности эвм требовали применения экономических вычислительных методов для решения прогностических уравнений. К этому направлению следует отнести работы [162, 186] с баротропной моделью, и работы садокова и немчинова [163, 288], в которых обсуждались различные варианты реализации бароклинной модели по полным уравнениям. Один из этих вариантов близко совпадает с так называемой полунеявной схемой, предложенной вычислительным центром соан, где выполнен большой ряд работ по схемам расщепления, представляющим класс неявных схем [117].

В этом параграфе будет изложена полуявная схема в интерпретации Роберта [286]. Построим ее следующим образом. Диагностическая часть модели остается без изменения – по ней находится . После этого решается прогностическая часть. В работе принято, что неявно должны записываться все члены, описывающие среднее состояние атмосферы. В связи с этим обсуждается два варианта. Они отличаются формой представления π уравнениях.

В первом – в уравнениях движения вместо π используется значение ln π. Во втором – используются те же параметры, что и в неявной схеме. Для удобства мы будем всюду пользоваться следующими обозначениями. Вариант модели, описанный в начале главы будем называть условно вариант S – 1, указанные выше два варианта полунеявном схемы S – 2 и S – 3 соответственно.

Рассмотрим двухшаговый временный интервал 2Δt, на котором представим уравнения следующем образом:

где φ = lnπ.

В последнем уравнении предполагается, что приближенно

(2.133)

Это соотношение выполняется достаточно точно, в среднем, в принципе, оно соответствует записи:

которое затем записывается на интервале 2Δt с введением центральных временных разностей с осреднением неявных членов по времени и записи явных слагаемых в центральной момент с осреднением по x, y.

Введем на рассматриваемом интервале обозначения:

Тогда и аналогично могут быть представлены и . Величины U*, V* – значения U, V в середине квадратной сетки.

Левые части уравнений можно упростить, вводя новые переменные:

y1 = y; t1 = t.

При этом члены типа пропадут и решать задачу можно как обычно, так как при t = 0 координатные системы совпадают. В конце прогноза результаты расчета необходимо сдвинуть вдоль потока на расстояние , где  – средняя по всему району скорость, а t – срок прогноза.

Таким образом, мы приходим к следующей системе:

(2.134)

(2.135)

(2.136)

Подставляя и  в третье уравнение, получим:

(2.137)

где

Уравнение (2.137) представляет собой разностный аналог уравнения Гельмгольца, для решения которого применимы итерационные методы. После того, как уравнение (2.137) будет решено, определяются и  по (2.134) и (2.135), а затем прогнозируемые величины:

(2.138)

Значения U(t + δt) и V(t + δt) в основных узлах сетки находятся как средние по четырем окружающим значениям U*(t + δt) и V*(t + δt) соответственно.

На этом заканчивается цикл одного временного шага. Как показали практические расчеты, δt в этой схеме можно увеличить до 45 мин для ограниченной территории. Краевые условия использовались те же, что и для явной схемы.

Следует сделать некоторые замечания по поводу вычисления Г. В начале параграфа было сказано, что схема вычисления Г остается той же, что и для
явного метода. Поскольку для расчета надо знать π, то после каждого шага его надо определять из выражения π = exp(φ).

Это вносит определенные трудности, поэтому более экономично в схеме всюду использовать φ вместо π.

Обозначим , тогда для приходим к трехточечному уравнению типа (2.132), в котором:

На верхней границе вместо (2.133) ставится условие:

Нетрудно оценить, что стремится на бесконечности к нулю как (b – ξ)2. Чтобы это условие было выполнено, достаточно потребовать в разностном уравнении для :

CL–1 = 0.

На нижней границе условие записывается следующим образом:

Интегрируя это выражение в пределах и беря l = 1, получим:

(2.139)

Отсюда следует, что:

Таким образом, мы свели задачу к полунеявной разностной схеме, в которой основными параметрами являются поля скоростей и функция Переходим к обсуждению второго подхода. Отметим принципиальные отличия его от предыдущих вариантов. Они сводятся к тому, что во всех уравнениях рассматривается только π и его производные. В уравнениях движения член типа π представляется следующим образом:

и  (2.140)

Проделывая обработку уравнений, подобно предыдущему варианту, приходим к разностной системе:

(2.141)

Умножая первое и второе уравнения на и подставляя и  в третье уравнение, приходим к следующему уравнению для определения в узлах сетки:

где

Остальные процедуры остаются прежними. Г вычисляется по схеме применяемой в явном варианте.

Из всех подходов к реализации полунеявной схемы была выбрана последняя, которая более сравнима с явной схемой и легко приспосабливается к ней с точки зрения программирования задачи.